关于函数幂级数展开与应用的探讨

赵梓燕

摘 要：本文以平时可能遇到的数学问题中的实例为主线，探讨了幂级数展开的条件；并充分的运用幂级数于求解函数值的近似计算、高阶导数、定积分、级数和、极限等问题；巧妙地运用级数解决差分问题的求解、不等式的证明，而这对于培养学生思维，拓展学生的数学视野极有好处。

关键词：幂级数 展开式 应用 计算

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2019）05-0067-02

1 引言

幂级数是一类简单的函数项级数，其简单的结构形式和和特殊性质使之成为一种有效的计算工具，本文将从介绍幂级数的相关知识着手，通过在数学中应用的一些典型例子对幂级数在不同问题中的应用进行分析与比较，总结不同的问题中应用了幂级数哪方面特殊性质，怎么样应用的问题。从而让我们能在不同的角度、不同的问题中更好地把握幂级数，应用幂级数的相关知识来解决我们遇到的问题。

2 幂级数的展开条件

2.1 幂函数的定义

由幂级数列an（x-x0）n 所产生产生的函数项级数

an（x-x0）n =a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）2+…+an（x-x0）n+…称为幂级数。

2.2 幂级数的展开条件[1]

设函数f（x）在x0处具有任意阶导数，那么f（x）在区间（x0-r，x0+r）内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式x-x0

证明：设f（x）的泰勒级数的前n项和为Tn（x）

则 Tn（x）=T（x）

由于，当x-x0

即， [f（x）-Tn（x）]=0

则， f（x）= Tn（x）

即：f（x）=Tn（x）

即f（x）在（x0-r，x0+r）内等于它的泰勒级数的和函数。

3 幂级数的应用

3.1 幂级数在计算中的应用

3.1.1近似计算。

例1.计算 的近似值，要求误差不超过0.0001。

解：因为 = =3（1- ）

所以在二项展开式中取m= ，x= ，即得

=3（1- · - · - · -…）

于是取近似为 ≈3（1- · ）

其误差为：

r2=3（ · + · + · +…）

< 3· · 1+ +（ ） +…

3.1.2 有关函数值的近似计算

在一些复杂函数的近似计算无法查表得到，把这类函数转换成幂级数展开，在往往会使近似计算方便、精确。

例2.若函数f（x）=xarctanx-ln ，求f（1）。

解：因为f（x）=xarctanx-ln =arctanx

同样将arctanx=x- + -…+（-1）n +…

两边积分，得：f（x）=xarctanx-ln

= - +…+（-1） +…

所以将x=1带入，得f（1）。

可见，再求一些复杂函数的函数值时，可以想办法将函数的展开形式写出来，进而就会轻而易举算出其所对应的近似值.掌握这种方法会给解决问题带来很大方便。

3.2 在计算导数中的应用

求导数是高等数学中最基础的知识，有些求导问题，幂级数法也是其中之一。

例3.求f（x）= 的n阶函数。

3.3 在定积分计算方面的应用

利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值。

例4.计算 .

解： = dx = xe2πx（1+e2πx+…）dx

=- e-2πx| + - e-4πx - e-4πx| +- e-6πx - e-6πx| +…

= + + +…

= + + +…= · = .

以上例题说明，幂级数在函数值及定积分的计算中有着广泛应用。对于用幂级数近似计算函数值，其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似.对于用幂级数近似计算定积分，特别是在某些被积函数的原函数不能用初等函数表示时，便显示出幂级数方法的优越性。

3.4 幂级数在计算级数和中的应用

利用幂级数的性质，幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分可计算幂级数的和。

例5.解幂级数 的和函数。

解： = =0

所以收敛域为（-∞，+∞）

令s（x）= ，则s′（x）= =

所以s（x）+s′（x）= +

= = =ex

所以 s（x）+s′（x）=ex， s（0）=1

所以 s（x）= （ex +e-x）

所以 = （ex +e-x）.

3.5 冪级数在证明不等式中的应用

幂级数是表达函数的重要工具，巧妙利用函数幂级数展开式，能将问题从难为宜。

例6：证明当c≥ 时， （ex +e-x）≤eex ，x∈（-∞，+∞）不等式成立。

解： 由于（2n）！≥2n·n！，所以有：

= ≤ =e

所以有当c≥ 时，有 （ex +e-x）≤eex .

总之，通过函数幂级数的展开式，在证明一些特殊的不等式时，可以很起到简便的作用。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系：数学分析（下册）[M].高等教育出版社，2001.6.

[2] 滕加俊.吉米多维奇数学分析习题集精选精解[M].东南大学出版社，2010.8.

[3] 舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京：科学出版社，2005：168-169.

[4] 梁慧.函数幂级数的展开和运用[J].中国新技术新产品，2008.09.

[5] Teman R.Infinte diensicnal dynamical systems in Mechanics and Physics[M].Springer-Verlag，NewYork，1997.