金属棒在磁场中切割磁感线对电容器充电的质疑

叶晟波

(慈溪中学 浙江 宁波 315300)

1 问题的提出

【例1】如图1所示，两根足够长的光滑金属杆ab和cd竖直放置，在金属杆的底端连有C=0.9 F的电容器，质量m=0.1 kg，长度L=0.5 m的金属棒ef套在竖直杆上，能自由运动，电阻r=1 Ω，金属杆的所在区域存在磁感应强度B=2 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁场区域足够大,g取10 m/s2,闭合开关S，将金属棒ef从某一高处静止释放，当金属棒下落h=2 m时(未离开磁场，电容器充电时间不计)，求电容器所带电荷量q.

图1 例1题图

2 对该题的错误分析

根据电流定义式

(1)

式中a为金属棒的瞬时加速度.由牛顿第二定律可得

mg-BIL=ma

(2)

将式(2)代入式(1)，解得

据此判断出金属棒做初速度为零、加速度为1 m/s2的匀加速直线运动，当下落h=2 m时，根据运动学公式v2=2ah，得到

v=2 m/s

金属棒两端的电压

U=BLv=2 V

电容器带电荷量

q=CU=1.8 C

以上的分析求解过程是错误的.从能量观点分析，金属棒切割磁感线，把金属棒的机械能转化为电容器的电场能和金属棒内阻上的焦耳热，即满足相应的功率关系为

BLvI=IUC+I2r

两边同约去电流I，得到

BLv=UC+Ir

此式也可以闭合电路角度分析，金属棒作为电源，它的电动势BLv等于金属棒内阻两端电压Ir加上电容器两端的电压UC，可见当金属棒有电阻时，电动势与路端电压这两物理量数值上不相等.

3 对该题的正确分析

既然BLv≠UC，那么金属棒还会做初速为零的匀加速直线运动吗？根据电流定义式

(3)

联立式(2)和式(3)，得

(4)

式(4)简化为

观察此式可以通过求导得到电流I与t的关系.

由一阶线性微分方程的通解公式可得

(5)

当t=0时I=0，代入式(5)得

即

(6)

从式(6)发现金属棒不再做初速度为零的匀加速直线运动，那么如何求金属棒下落h=2 m时的瞬时速度呢？把式(6)代入式(2)，得

(7)

对式(7)积分，得到

(8)

当t=0时,v=0，代入式(8)得

即

(9)

对式(9)积分，得到

(10)

当t=0时,h=0，代入式(10)得

(11)

代入已知量得h与t的数学关系式

当h=2 m时，解得t≈1.38 s，把t代入式(9)得到此时的瞬时速度

把t代入式(6)得到此时的

把I和v代入闭合电路欧姆定律

BLv=UC+Ir

得到UC=1.29 V,从而求得此时电容器所带电荷量

q=CUC≈1.16 C

以上的数学求解过程已经超出高中生的知识范围，所以对于高中物理教学在题设中金属棒的电阻不计比较合适，当金属棒的电阻不计时电动势与路端电压数值上相等，那么金属棒做匀加速直线运动，就可以根据运动学公式求得速度v,从而求得电容器两端的电压UC，最后求得电荷量.为了全方位理解电动势和路端电压这两个物理量的本质和内涵，我们可以通过教材《物理·选修3-1》第三章第五节课后习题4的分析，建构电源模型，培养学生的科学思维，从物理学视角抽象概括出电源的电动势和电路中的电压的本质属性、内在规律及相互关系.

4 两个概念的本质和相互关系

【例2】磁流体发电是一项新兴技术，图2是它的示意图.平行金属板A和B之间有一个很强的磁场，将一束等离子体以速度v喷入磁场，A，B间距为d，板间的磁场按匀强磁场处理，磁感应强度为B，设磁流体通道长为a，宽为b，导电流体的电阻率为ρ，负载电阻为R，求：

(1)该发电机产生的电动势是多大；

(2)负载R两端的电压U多大；

(3)磁流体发电机总功率P.

图2 磁流体发电示意图

(1)建立电源模型

为方便受力分析，将图2转化为图3.题中等离子体是带有等量异种电荷的粒子流，它们以速度v射入磁场，由于受洛伦兹力的作用，分别向上、下两平行金属板A，B偏转，金属板上因会聚电荷在垂直于磁场和流速的方向上产生一个向下的电场E.如把金属板与外负载相接，可以对负载供电成为电源.从能量转化角度来看，电源是通过非静电力做功把其他形式的能转化为电势能的装置，磁流体发电机产生电动势跟金属棒产生电动势的原理相同，它们的非静电力都是由水平向右的速度所对应的竖直方向上的洛伦兹力提供，此分力克服静电场力，将电子从高电位移向低电位做功，使导体MN两端形成电势差，产生电动势，电动势是电源的一个重要参数.

图3 分析等离子体在磁场中的运动及受力

(2)如何求磁流体发电机的电动势？

把负载R与电源断开，洛伦兹力的分力克服静电场力，当电荷受到的洛伦兹力与电场力平衡时，如图3所示，即qvB=Eq时，满足E=vB，电荷做直线运动，此后金属板上电荷不再增加，则电动势ε=Ed=vBd，这与金属棒切割磁感线产生电动势的公式也相同，它们都利用了电磁感应原理.

(3)如何求磁流体发电机负载两端的电压？

(4)认识ε和U的本质及相互关系

从以上式子可以发现，无论是金属棒还是磁流体发电机作为电源，当电路中存在等效内阻时，电动势ε大于电压U.电动势和电压分别对应着不同的力做功，不同的能量形式的转化，但是都是标量.对于给定的电源来说，不管外电阻是多少，电源的电动势总是不变的，表征电源的特性，而电源的路端电压则是随着外电阻的变化而变化的，它是表征外电路性质的物理量.