单摆实验的视频分析教学案例*

郭中华 郑隆举 朱振珲

(兰州城市学院电子与信息工程学院 甘肃 兰州 730070)

随着数字化技术在生活中各方面的广泛普及，如何将自然科学基础知识借助数字化技术应用于基础教学之中，提高学习者对信息的接受和分析能力，以响应社会对人才培养综合素质的要求，借助数字化实验平台建设，探索新型的物理实验教学模式，就值得尝试、研究和探索.本文借助Tracker软件分析单摆实验，进行数字化实验教学的尝试，为普通物理实验的教学提供一种有益的参考.

Tracker软件源于美国国家科学基金会(NSF)资助，始于2003年的开源物理项目(Open Source Physics Project，OPS)，是其中很重要的一款开源软件之一.该软件主要功能是视频分析和建模，它能精确地捕获视频中质点的位移时间数据，并具有简洁高效的数据分析功能，建模模拟，可应用于运动学、动力学及光谱分析等的教学与研究[1].

单摆实验是普通物理实验(力学部分)中最基础、最重要的一个实验，在生活中，常见的秋千、钟摆等实物中都可以抽象出这种物理模型.传统的力学实验中，单摆实验基本有3点要求：

(1)利用单摆测定当地的重力加速度；

(2)验证单摆周期与摆长的关系；

(3)观察单摆周期随摆角的变化情况.

但在传统实验中，实验者不能直观地观察到摆球做简谐振动的运动规律，而且单摆的周期不易测准，摆长、摆角对单摆周期的影响也不能及时得到验证，影响实验效果.力学实验是物理学专业学生首先接触到的专业实验，但是低年级学生往往专业知识储备较少，计算机基础应用能力不强，编程语言能力差，借助Tracker软件来分析单摆实验，不仅可以直观地得到简谐振动的运动规律，测量相关物理量，还可借助其数据拟合功能，进一步分析实验中涉及到的物理现象规律.在较短的时间内，经过指导及自学练习，学生们就可以了解到物理建模、研究分析及计算模拟的整个研究型学习的过程，这对于科研能力的训练是十分有益的.

1 单摆实验

一个一端悬挂、质量忽略不计的轻绳(长为L)连接一个重物(质量为m)，在摆角θ<5°下的无阻尼平面摆动过程，可视为单摆系统.取重物为小球，直径为d，对其受力分析，如图1所示.建立自然坐标系，在切向由运动微分方程

进一步整理可得

(1)

这是典型的简谐振动运动方程.从而可得到单摆的周期为

(2)

图1 系统示意图

从式(2)中进一步得到图1 单摆系统示意图

(3)

可见单摆系统周期平方和摆长应为线性关系，依据此线性关系，通过计算斜率的办法，亦可求得重力加速度.

当系统摆角θ>5°时，需要求解非线性运动微分方程

(4)

一般情形下，很难求解结果.用积分的方法，可求出含有第一类椭圆积分的单摆周期公式[2]

(5)

其中θ0表示系统的最大摆角，式(5)适用于任意摆角的情形，应用时查椭圆积分表可得精确振动周期.

为了简化计算，将式(4)中的sinθ做级数展开并利用三角变换，可得到θ≤90°运动单摆的近似周期计算公式

(6)

与椭圆积分计算结果的式(5)相比较，式(6)的精确度相当高[3].

2 Tracker软件对实验的分析

在实验前，给学生讲解软件的基本使用方法和实验视频的录制过程.对反映物体运动的实验片段进行录制时，为了保证后期摆球容易识别，通常实验背景与摆球的颜色二者相差要大.由于Tracker处理的是可供度量的时空坐标和尺度，为了方便起见，通常将物体位置的起点与运动开始的时间点作为时空原点.

2.1 简谐振动的运动规律

Tracker会以首次标记物体的形状为模板，在物体运动的过程中自动搜索匹配与模板相同的物体，这样就得到该物体许多连续的时空坐标，记录在窗口的表格中，同时还会绘制出质点的位移-时间以及速度-时间图像、加速度-时间图像.在摆角θ<5°条件下，分析录制好的单摆运动视频，在程序自动追踪摆球位置的同时，可在图像窗口同步观察其运动学特征.得到摆球的角位移-时间、角速度-时间以及角加速度-时间的变化规律如图2～4所示.

图2 摆球角位移-时间变化关系

图3 摆球角速度-时间变化关系

图4 摆球角加速度-时间变化关系

从图2～4可以看到，摆球的角位移-时间、角速度-时间、角加速度-时间均为余弦函数规律，当小球处于平衡位置处，角速度最大、角加速度最小；而在最大位移处，角速度最小、角加速度为最大.由于视频分析中追踪的是摆球的位置，据此数据得到速度，进一步得到加速度，因而数据有传递误差，导致角加速度随时间的变化曲线不够光滑.但是整体上，摆球的运动特征仍然符合简谐振动的规律，在实验中可以实时、直观地得到简谐振动的运动学图像.

软件的数据窗口中可直接读出摆球振动的时间值.一般在实验中，利用30～50个周期的时间值计算单摆的周期，由于视频分析中是针对每帧画面去定位摆球的位置并计算时间，因而测量数据准确度高.

在摆角θ=3.3°，L=58.10 cm条件下，得到单摆周期T=1.530 s.利用式(2)，可计算得到本地的重力加速度数值g=9.788 4 m/s2.实验室所在地区重力加速度的理论值g=9.792 6 m/s2，则百分比误差Δg=0.042%，可见在实验规范操作，视频录制准确的情形下，所得结果的精确度是较高的.

2.2 验证单摆周期与摆长的关系

分析相同摆角、不同摆长情形下的单摆运动，利用软件分析拍摄好的视频文件，整理得到不同摆长下的周期数据，如表1所示.

表1 不同摆长下的周期数据列表

将数据导入Tracker，在数据分析窗口中研究T2-L的关系，如图5所示.

图5 小球周期平方与摆长的关系

从图5中可以看出，摆球周期的平方与摆长成线性关系，摆线长度越大，则单摆周期也越大.利用Tracker软件的数据分析工具，对所得数据进行线性拟合，在参数窗口中可直接得到相关拟合参数.图5的结果中，曲线的斜率

从而计算得到当地的重力加速度g=9.798 6 m/s2，则百分比误差Δg=0.061%，实验结果精确.

2.3 分析摆角对单摆周期的影响

当摆角θ>5°时，单摆的运动已经不是简谐振动了，但是在无阻尼情形下，仍然是周期性运动，其运动周期和摆角的关系可以利用实验结果进行分析.实验中，摆长取为L=52.10 cm，对不同摆角下的单摆运动进行视频分析，读取其对应的周期数据如表2所示.

表2 摆角变化情形下周期实测数据

将数据导入Tracker中，分析摆球相对周期随摆角的变化规律，结果如图6所示.

图6 大角度单摆相对周期随摆角的变化规律

3 总结

在教学中利用视频软件分析单摆实验，减少了实验中的系统误差及读数误差，可以精确记录摆球的运动轨迹，直观地得到简谐振动的运动规律，提高了实验者的兴趣和热情，有利于基本理论的理解和掌握.利用其数据拟合功能，进一步分析运动特征，并测量当地的重力加速度，简便、快捷，能帮助实验者更好地理解单摆的运动规律及应用.对于低年级学生来说，通过实验的研究分析与物理模型的建立过程，结合数值计算方法的简单数据处理，是一种有益的科研训练过程.将实验资料整理存档，可作为基础物理数值模拟实验的一部分，在经典物理教学中实现物理实验的数字化分析，开展新颖的物理实验教学模式，是物理实验教学改革的一种有效途径，值得探索.