分布函数的关联及应用分析

董羽恩

摘 要：本文分析了概率统计中离散随机变量的概率分布函数的概念及性质，以及连续随机变量中的概率密度函数的概念及性质，并在此基础上深入分析不同形态分布函数（如指数函数、正态函数、均匀函数）的概率分布函数，并开展离散型随机变量和连续型随机变量分布函数的应用。

关键词：分布函数;概率统计;应用分析

中图分类号：O212.8 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）07-0245-02

0 引言

概率统计中的分布函数包括了离散变量的分布函数以及连续变量的分布函数，概率统计中针对离散变量的分布函数称为概率分布函数[1-3]，针对连续变量的分布函数称为概率密度函数[4-6]。以离散变量X的分布函数为例，其分布函数是指该随机变量X落在特定区间上的统计概率，其概率的表述形式定义如下：

定义1：随机变量X的值不大于任意实数x的值，即F（x）=P{X≤x}

定义2：随机变量X的值小于任意实数x的值，即F（x）=P{X

引入随机变量X后，可利用分布函数来解决关于取值、取值范围或取值、取值范围的概率问题，即可研究随机事件的出现概率及次数，以掷硬币为例：

将一枚硬币连抛三引入随机变量X后，可利用分布函数来解决关于取值、取值范围或取值、取值范围的概率问题次，观察硬币正反面向上的情况。其中全部正面向上有1次;全部反面向上有1次;3次2枚硬币正面向上，1枚硬币反面向上;3次2枚硬币反面向上，1枚硬币正面向上。其中正面向上的次数分别为3次、0次、2次与1次。设X为硬币正面向上的次数，利用分布函数描述X出现的可能性的概率，即分布函数为P{X=2}=3/8、P{X≤2}=7/8、P{X≥1}=7/8。

F（x）是一个增函数，且F（x）∈[0，1]，F（x）在负无穷的值为0，在正无穷的值为1，即：

F（-∞）=limx→-∞F（x）=0，F（+∞）=limx→+∞F（x）=1    （1）

F（x）是一个右连续函数，即F（x+0）=F（x）。对于连续性随机变量X的分布函数f（x）是一个积分函数，即有F（x）=f（x）dx。

分布函数是一个概率值，可以表示为区间的形式，即为P{a

1 分布函数的内涵及关联

1.1 分布函数的分类

（1）累积分布函数。对离散变量而言，所有小于等于a的值出现概率的和，即Fx（X）=P（X≤x）。假设累积分布函数在负无穷到正无穷的值域为[0，1]，那么函数在定义域内单调递增或单调递减，具有右连续性即为F（x）=Fx（x0）。以像素大小图像的最大灰度级为例，设M×N像素大小图像k（h）具有灰度级，灰度级的取值范围为[0，V-1]。k（h）除以图像总像素个数为灰度级分布概率k（g）。图像的累计概率分布f（t）为k（g）的前g项（g

（2）均匀分布的分布函数。在区间[a，b]上服从均匀分布的随机变量X，落在区间[a，b]中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。以随机变量X为例，求均匀分布函数F（x）的值。当Xb时，F（X）=f（x）dx+f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx=dx=1。因此，均匀分布函数的分布函数为：

（3）指数分布的分布函。指数函数的分布函数的特点为事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程，如医院婴儿出生、公司接到电话的频次、某超市每天出售奶粉的频次都属于指数分布函数，它们的共同特点为可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。以婴儿出生频次为例，假设某段时间内婴儿的出生概率，已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

由于事件的不确定性，因此服从泊松分布，假设此事件泊松分布的定义为：

1.2 连续型变量分布函数的应用

例1假设连续型变量Y的分布函数W（Y）=，那么求连续变量Y的概率密度函数;求Y∈[0.25，0.75]区间函数W（Y）的概率密度函数。

解：对于连续变量Y其分布函数称作概率分布函数，因此其概率密度函数为其分布函数的导数。假设其概率密度函数为g（y），则可得g（y）=W'（y），由已知W（Y）的函数分布形式为分段函数，因此对于概率密度分布函数分别求解每一段可表述为：

1.3 离散型变量分布函数的应用

假设离散随机变量Y的分布函数表述为：F{Y}，那么F{Y}=P{Y≤y}。

例2：设离散随机变量Y的分布概率为：

那么，求出Y的分布概率函数F{Y}。

解：首先离散型随机变量的概率分布函数的定义为 F{Y}=P{Y≤y}。即每一个y值对应一个确定的分布函数，即具有一一映射的关系。由图中的离散关系，可将Y值的定义域分布如下的区间：[-∞，-1]，[-1，0），（0，1]，[1，2），[2，+∞）五个区间。因此，其对应的概率分布函数为：

2 结语

本文在分析分布函数含义及概念的基础上，举例分析分布函数的性质及内涵，并通过分布函数与其它相关函数的关联分析，给出均匀分布概率函数的定义及性质，累积分布函数的概念及性质，并在此基础上分析了累积分析函数的图像应用，以及指数分布函数的概念及性质。最后在此分析的基础上开展了连续型随机变量和离散型随机变量分布函数的应用。

参考文献

[1] 姜咏梅.浅析分布函数的意义与应用[J].科学与财富，2014（10）：207-208.

[2] 戴月.从不同角度看分布函数的意义[J].新疆教育学院学报，1996（3）：93-97.

[3] 王菊仙.论随機变量的理解、意义及应用[J].邢台职业技术学院学报，2000（4）：18-20.

[4] 乌兰，金珩.利用特征函数讨论特殊分布的有关性质[J].内蒙古统计，2004（5）：64-65.

[5] 陈尚杰.浅析分布函数的求法和教法[J].科教文汇，2012（1）103.

[6] 刘永利.分布函数概念讲解方法浅析[J].辽东学院学报（自然科学版），1996（3）：81-84.

[7] 于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].企业科技与发展，2008（20）：108-110.

[8] 张小咏，刘耕年，李永化，等.高斯函数参量法及其在山区降水计算中的应用[J].地理研究，2008（3）：594-602.