“概率论与数理统计”的目标教学效果分析及实现举措

常秦

摘要：“概率论与数理统计”是高校许多专业重要的数学类基础课。本着“以学生的学习成果为中心评价教育”的原则，本文分析了课程的目标教学效果，提出除了由知识点掌握情况代表的基本教学效果外，还应实现包括提升数学素养、对学科体系有大致了解、提高解决实际问题的能力、深入理解重要思想等更高层次的教学效果。结合对教学现状的分析，本文提出以精细化的教学设计全面提升教学效果，并归纳出四种易于应用的教学设计模式。

关键词：概率论与数理统计;教学效果;教学设计;数学素养;案例教学

中图分类号：G642.0    文献标识码：A     文章编号：1002-4107（2019）05-0019-04

“概率论与数理统计”是研究和揭示随机现象统计规律性的学科，在众多领域都有着广泛的应用，是高等院校许多专业都开设的数学类基础课。它以另外两门重要的数学基础课“高等数学”和“线性代数”为先导，是大学本科生接触到的第一门探讨和研究随机现象的学科，具有与实际问题联系极其密切、应用广泛的特点，并且蕴含许多与确定性数学研究所不同的思想和解决问题的方法。数学家拉普拉斯说过：“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题。”[1]统计学家C. R. Rao说：“在抽象的意义下，一切科学都是数学;在理性的世界里，所有的判断都是统计学。”显然，“概率论与数理统计”能够使学生收获的，要远多于课本上的公式、定理和知识点，也不仅仅关系到后续课程的学习，甚至能够影响到学生的一生。2018年6月，陈宝生部长在新时代全国高等学校本科教育工作会上的讲话中强调，“把‘培养人作为根本任务”，“以学生的学习结果为中心评价教育，以学生学到了什么、学会了什么评判教育的成效”。那么，“概率论与数理统计”能够和应当使大学生学会什么，收获什么，达到什么样的教学效果？如何实现？这正是本文要探讨的。

一、“概率论与数理统计”能够实现的教学效果

最基本也是最为师生重视的教学效果，是对知识点的掌握，是通过课程的学习，学生应当能够掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法等重要知识点，并初步掌握运用概率统计方法分析和解决问题的能力。这类教学效果是相对容易通过考试、作业等方式评价的。然而，虽然我们称之为“基本的教学效果”，它却并不能够轻松达成。一方面，总有学生由于不够用功、不够重视或学习不得法等原因，在课程结束时不能够达到理想的学习成效;另一方面，即使当时达到了，结课一段时间之后，由于印象不深容易遗忘，学生又把所学知识“还给”教师的现象也普遍存在。

除了上面所述的基本教学效果，我们总结了以下几条可期望的成效，它们在教学过程中容易被忽略，不易评价，又恰恰能够真正对学生的成长起到长期的影响作用，本文称之为“更高层次的教学效果”。

（一） 提升包括符号表示、抽象思维、逻辑推断等在内的数学素养

在教学过程中，教师为了让学生容易理解晦涩的公式和定理，往往先用较形象化的方式进行讲解，或用案例教学的方式帮助学生理解。这都能够对学生的学习过程起到很好的促进作用。但需要强调的是，在形象化的解释之后，仍然应当回到符号中来，引导学生明白其中符号表示的目的和作用。能够读懂公式和较熟练地进行符号表示是大学生可以从数学类课程中获取的一种非常重要的能力，尤其对于将攻读研究生和从事科研工作的学生，这一能力甚至影响到其科研工作所能达到的高度。类似的，抽象思维、逻辑推断等等这些数学素养，都可以并且应当在“概率论与数理统计”等数学类课程中得到锻炼和提升[2]。

（二）对“概率论”“数理统计”学科发展的过程有系统性的大致了解

学习“概率论与数理统计”课程的同时，也应当是了解这一学科发展历程的过程，同时也是见证学科发展史上一个个难题如何被解决的过程。这实际上是要求学生除了掌握课程基本内容之外，还要对这些内容存在的必要性，对这些内容之间的联系有所了解，对它们在整个学科发展中的地位和作用有一个宏观的认识。一旦达到了这一成效，好处是显而易见的，一方面，这些被“线”贯穿起来的知识，更容易被深入的理解，而且不容易忘记;另一方面，学生了解了这些概念、定理产生的背景，体会到它们能够发挥的作用，才能够理解它们的产生背后蕴含的解决问题的方法。例如，“随机变量”这个概念，仅仅是教学中的“鱼”，而“通过定义随机变量这样一种工具，把具体的随机试验都转移到实数轴上，使其可以用高等数学的方法来研究”这样一种通过抽象化和数量化解决问题的思路才是“渔”，显然后者对于学生来说是更加宝贵的财富。

（三）进一步提高灵活运用理论，解决实际问题的能力

概率统计具有和实际问题联系极其紧密的特点，由于应用极广，还产生了大量交叉学科，包括“地质统计”“生物统计”“医药统计”“经济统计”“大数据分析”等等。因此，有大量的应用课程知识解决实际问题的案例，可以引入课程教学中，引导学生通过借鉴和练习，提高解决实际问题的能力。特别要说明的一点是，在真正解决实际问题的时候，“灵活”二字非常重要。现实中的问题往往非常复杂，如何将复杂问题拆分为多个简单问题，如何针对具体实际问题做出适当的假设以及简化假设从而使理论可行，这种“灵活运用所学知识”的能力，也可以通过“概率论与数理统计”中的案例教学得到提高。

（四）理解“概率論与数理统计”中独特的思想方法和原理，理解生活中的随机现象，建立科学的世界观

作为大学生接触到的第一门探讨和研究随机现象的学科，“概率论与数理统计”中包含了一些与确定性数学所不同的、独特的思想和解决问题的方法，例如统计推断的思想，贝叶斯方法和后验的思想，极大似然估计的思想，实际推断原理等等。深入的理解这些思想和方法，能够帮助学生更好的理解充满随机现象的自然、社会，以及生活，建立科学的世界观。正如严加安院士的诗《随机与概率》中所说，“随机事件发生并非随意，概率破解其中奥秘玄机。境况复现催生稀有事件，历史长河沉淀自然奇迹”，“日常生活常遇概率问题，学点概率知识终身受益”。

二、“概率论与数理统计”教学现状

（一）学生和专业重视程度不够

与另两门重要的数学类基础课“高等数学”和“线性代数”比较起来，“概率论与数理统计”显得不那么“基础”，重要性易被忽视，而且由于开课时间晚（往往在大学第三学期或第四学期开设），学生已经开始学习一些较重要的专业课，所以部分学生不愿意多花精力在本课程中。另外，以本校各专业培养方案为例，“概率论与数理统计”课程普遍存在学时少、学分少、选修课多、必修课少的问题，这就体现了专业的不够重视，也进一步减弱了学生学习的积极性。由此造成教师课内教学任务繁重，学生投入精力不足等问题。

（二） 需要一些高等数学的知识为先导，部分基础薄弱的学生信心不足

“概率论与数理统计”中需要用到一些高等数学的知识，例如在连续型随机变量的部分，就要用到一些微积分的知识。一些学生觉得自己“高等数学”没有学好，也就丧失了学好“概率论与数理统计”的信心。事实上，“概率论与数理统计”中涉及的数学知识仅限于微积分和线性代数中的基础部分，学习本课程的过程，恰恰可以帮助学生查漏补缺的巩固微积分等重要知识，更深刻地体会到高等数学的知识是如何应用于解决实际问题的。

（三）一些思想原理较难理解

“概率论与数理统计”是一门研究随机现象的学科，课程中包含的一些与确定性数学所不同的、独特的思想和解决问题的方法，对于刚开始接触的学生，不容易理解。学生一旦形成这门课很难的印象，学习的后劲就不足了。例如，课程中提到这样一个事实，“不可能事件的概率是零，概率是零的事件不一定不发生”，这对于刚接触随机和概率的学生的确是很难理解的。这就需要教师有针对性的，把这样的难点讲透。再比如，后验概率的概念，极大似然估计的思想，实际推断原理等等，都是学生容易产生疑问的地方。

三、以精细化的教学设计多方位提升教学效果

基于以上对“概率论与数理统计”教学的目标效果和现状的分析，笔者提出以精细化的教学设计提升教学效果。这里说的“精细化”设计，既包括每堂课的知识内容本身，也包括各部分的讲解方法、课堂安排等等。首先，由于课时有限，并且学生在课堂上集中精力的时间也有限，内容安排“干货”不可过多，必须有所取舍，重点突出。其次，“干货”如何讲出来，也需要精心设计。 以下列出几种便于应用的教学设计模式，期望以精细化的教学设计全面提升教学效果。

（一） 以“形象——抽象——形象”的模式，加强对符号表示和抽象思维的训练

对于公式、定理等一些较抽象的内容，可以通过实际应用案例、产生背景等引入。在形象化的讲解之后，强调其中符号表示的目的和作用，使学生知其然，且知其所以然，这是“形象——抽象”的过程，也是学生读懂公式的过程。更进一步，引导学生掌握将“抽象”的符号用于表示“形象”的能力，这是“抽象——形象”的过程。

以本校教材[3]为例，一个典型的例子是表示离散型随机样本的联合分布时，双重下标的应用：“若是离散型随机变量，其概率分布为，则的联合概率分布为.” 很多学生可能一看到双重下标就犯了难。可以引导学生思考，“这里为什么要用双重下标”，“可不可以直接用表示联合分布”，“可不可以用”？ 一旦清楚，这两种形式的不适合，在于第一种形式中的等容易和中的混淆，而第二种形式中的不如更能清楚的表示出（变量）下标的个数，学生就完全理解了这里使用双重下标的好处和意义，同时本身也学会了这种表示方法。

（二）  以“案例——方法——推广”的模式，提高学生灵活运用所学，分析问题、解决问题的能力

“概率论与数理统计”极其贴近现实生活，应用的例子较容易寻找，容易引导学生从生动的案例出发，学习重要的思想方法。从案例出发的教学模式，可以在第一时间引起学生学习的兴趣，而后提炼、推广的过程对学生解决实际问题能力的提高有很大的促进作用[4-5]。

例如要讲解点估计中的矩估计思想，可以从这样一个案例“德军有多少辆坦克”[6]开始。首先给出问题：“假设德军制造的坦克从‘1开始进行了连续编号，能否从盟军缴获的坦克编号推断出德军制造的坦克总数？”，引导学生给出几种不同的估计，从而认识到“估计并不是唯一的，也无法保证一定正确”这一统计推断与非随机数学不同的理念。由其中的一种估计方法，即“认为缴获编号的均值也是全部编号的均值，也就是用样本均值乘以2作为总数的估计”，归纳出矩估计的方法（用样本矩估计对应的总体矩），进而将矩估计方法推广到其他的估计问题。可以采用类似模式进行设计的内容，还包括古典概型、全概率公式（将复杂事件拆分为多个互不相容的积事件的和）等等。

（三）以“问题——工具（概念）——作用”模式，加深对概念的理解和强化知识的系统性

这种模式特别适用于对概念的讲解，且可以在教学过程中融入学科发展的历史[7]及数学文化[8]。数学是一门形式科学，其中的概念的提出是有目的的，是起到特定作用的。概率论与数理统计也具有这样的特点，了解其中概念的作用对概念的理解至关重要。由此本文提出这种教学模式：由问题导入，引导学生思考解决问题的方法，從而引出能够解决问题的“工具”，总结体会这种工具（概念）的作用。适用这种教学设计模式的内容，包括概率的公理化定义、随机变量、期望、方差、t分布等等。

以前面提到过的“随机变量”这个概念为例。在学习了基本的事件和概率的概念之后，向学生抛出问题“怎么能更进一步，更好地开展对随机性的研究？” 引导学生思考，得到把一些相似的具体随机试验归纳起来的抽象化数量化的解决问题的思路，从而引入“随机变量”这一概念。认识到通过定义随机变量这样一种工具，能够 “把具体的随机试验都转移到实数轴上，使其可以用高等数学的方法来研究”，学生将对随机变量有更深刻的理解，更学习到了这种“引入工具”解决问题的方法。

（四）用“问题——讨论——归纳”的模式，突出重要的思想方法

“概率论与数理统计”中，有一些思想非常独特也较难理解，是需要通过教学设计重点强调的。对这些独特思想的理解，是课程教学的一个重要目标。例如，前文提到过的“概率是零的事件不一定不发生”。要讲好这个课程中较难理解的内容，一个好的引入方式可能就成功了一半。为了使没有测度论基础的非数学专业学生更好的理解，可以在学习几何概型部分时引入问题，“完全随机的向一个确定区域投点，落在某一个点的概率是多少”。引导学生思考、讨论，通过“区域内有无穷点”和“落在每个点的可能性相等”这样的推断，结合概率的性质推算出“落在任意一点的概率为零”。进而，由学生自己归纳出“概率是零的事件也可能发生”这个结论。在后续的课程内容当中，还会碰到关于这个结论的其他反例，包括“连续型随机变量取到每一个点的概率为零”“存在概率为零但概率密度非零的点”等等，可以再次引导学生思考和理解。

再比如，另一个重要的结论“即使是概率很小的事件，在大量重复试验中也几乎一定发生”。这一结论可以通过设计相关例题引入，例如“某人独立重复射击400次，每次命中概率为0.01，求击中次数大于等于1的概率”。通过计算，这个概率高达0.982，由此学生就能够归纳出这一结论。关于这一结论还有一个有趣的思想实验“无限猴子定理”，内容是“无限只猴子在打字机前敲击无限时间可以打出莎士比亚的全部著作”，也可以用来活跃课堂和加深印象。另一方面，与之相关的另一个重要思想是，“如果只有一次试验，那么小概率事件被倾向于认为不发生”，这就是实际推断原理了，是假设检验的依据;它的逆否命题——事件已经发生了就认为其概率应该比较大，正是极大似然估计的原理。从实际推断原理和极大似然估计原理中，学生可以体会到，由于随机性的存在，无法保证推断一定正确，但可以使推断正确的可能性尽量大，这正是统计推断的重要思想。

除了一些有关随机性的独特思想，还有一些在数学乃至各门科学中可以广泛应用的重要思想方法，也包含在“概率论与数理统计”中，包括全概率公式中蕴含的“化整为零”的思想，计算事件的概率时通过逆事件进行计算的“逆向”思维方式，假设检验中的“反证法”思想等等。这些都可以通过“问题——讨论——归纳”的模式融入课程教学中。

本文将“概率论与数理统计”的目标教学效果分为基本教学效果（知识掌握）和更高层次的教学效果两大类，其中后一类是真正能够对学生的成长产生重要的长期影响的，包括提升符号表示能力等数学素养、对学科体系有大致了解、提高灵活解决实际问题的能力、理解学科中的重要思想和生活中的随机事件，建立科学的世界观等等。针对这些目标教学效果以及对教学现状的分析，本文提出了四种便于在教学设计中应用的模式，其中“形象—抽象—形象”的模式能够有效加强对学生数学素养的培养，“案例—方法—推广”的模式有利于提高学生解决实际问题的能力，也增加学生学习的兴趣。“问题—工具（概念）—作用”模式适用于讲解概念，在讲授中融入学科发展的历史，加深学生的印象，帮助深入理解内容。“问题—讨论—归纳”的模式，帮助学生深入理解学科中重要的思想和方法，理解自然、生活、人生中的随机性，建立科学的世界观。

本文在“教学现状”部分提到学生不够重视、不愿投入精力的问题。要改善这一现状，对教师提出了更高的要求，除了要精细化合理安排课堂内容，让学生爱上课堂，也要求教师一方面对该专业学生的后续专业课程有一定了解，从而能够进行更贴近学生专业需要的教学设计，使其认识到“概率论与数理统计”的重要性，进一步引起学生的学习积极性;另一方面，加强课下和学生的交流，了解学生学习过程中的想法和需求，鼓励和关注学习有困难的学生，实时调整教学计划和安排。可以想见，凭借教师更多的投入精力做好教学设计，把握教学过程，学生学习效果的提升是一种必然。

参考文献：

[1]刘柏森.“概率论与数理统计”课程教学改革新探索[J].长春师范大学学报，2018，（6）.

[2]曹广福. 浅谈大学非数学专业的微积分教学[J].中国大学教学，2018，（1）.

[3]王清河， 常兆光， 曹晓敏. 随机数据处理方法[M].东营：中国石油大学出版社， 2011：97.

[4]Wackerly D D， Mendenhall W， Scheaffer R L. Mathematical statistics with applications. 7th ed[M].Brooks/Cole， Belmont， CA， 2008：14.

[5] 方茹，田波平，王勇.談案例教学法在概率论与数理统计教学中的应用[J]. 大学数学，2014，（S1） .

[6] [美]G.R.埃维森， M.格根. 统计学：基本概念和方法[M]. 吴喜之，程博，刘林旭，等，译.北京：高等教育出版社， 2000：151.

[7] 陈希孺. 数理统计学简史[M]. 长沙：湖南教育出版社， 2002：17.

[8] 张雪飞.《概率论与数理统计》课程中融入数学文化的案例研究[J]. 信息系统工程，2018，（4）.