美国数学课程中的“问题提出”——期望与挑战

许天来，蔡金法



美国数学课程中的“问题提出”——期望与挑战

许天来1，蔡金法2，3

（1．广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006； 2．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；3．美国特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

从计划课程、期望课程、实施课程和获得课程4个角度，对美国数学课程中关于“问题提出”的期望与挑战进行评述．发现，尽管美国数学教育界已广泛认可“问题提出”在学校数学中的重要性，而且“问题提出”在近30年的数学课程标准中不断明确地被提及，然而，与之形成对比的是，在数学教材和一线课堂教学实践中，问题提出活动仍较为缺乏．因此，数学教材应增加数学问题提出活动的比例与类型，教师通过改编现有课程材料为学生创造提出问题的机会，增加课标中问题提出的范例，将有助于教师进行“问题提出”教学．

数学问题提出；课程；教材；教学；美国

1 引言

数学问题提出（Mathematical Problem Posing）有助于提高学生的概念性理解、问题解决技能、数学思维、态度、数学自信心和创造力等[1]，对于促进数学教与学有着广阔的前景．在文[2]中，为明辨美国数学问题提出“研究”层面状况，于文华通过对已有相关研究的述评，发现问题提出已成为美国数学教育领域名副其实的“主流研究”与“热门方向”．这些研究表明，美国已在理论层面认可数学问题提出的重要性．那么，数学问题提出在美国数学教育中的“实践”层面的表现如何呢？对美国数学课程中问题提出的期望和挑战进行分析，以期帮助读者更好理解《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》中所要求的“提高从数学角度发现和提出问题的能力”[3]．

2 研究框架

“课程”（Curriculum）一词很难有统一的定义，为了更好地对美国数学课程中的问题提出进行分析，借鉴首届国际数学研究（First International Mathematics Study，FIMS）所使用的课程构架[4]．此构架将课程划分为期望课程（The Intended Curriculum）、实施课程（The Implemented Curriculum）和获得课程（The Attained Curriculum），分别对应社会期望学生学习的数学、课堂实际教学的数学以及学生真正习得的数学．

因为“期望课程”受“计划课程”所制约，所以在“期望课程”前增加了“计划课程”，并将采用以下框架对美国数学课程中的问题提出进行分析（如图1）．与传统课程构架相比，图1将课程标准（教学大纲）单独列出，作为“计划课程”，特指其所包含的对问题提出的相关表述；教材则被用以分析数学问题提出教学的“期望课程”；“实施课程”是课堂中真正用于教学的数学内容，也就是在教学实践中运用问题提出进行教学的活动．研究主要通过呈现美国本土运用问题提出开展教学的课例和相关教学研究来体现动态的教学过程；“获得课程”包括学生提出数学问题的能力，以及采用问题提出教学如何影响学生的学习和态度，这部分也主要结合美国本土的各项实证研究进行分析．

图1 研究框架

3 美国“计划课程”中广泛认可数学问题提出的重要性

近30年来，不断变革的美国数学课程标准对数学问题提出均做出了明确的要求．如1989年，美国数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在其《学校数学课程与评价标准》中，有以下关于问题提出的表述[5]：“学生应从现实活动、已经加工过的数据、等式等情境中，获得创设（Creating）问题的丰富经历．”两年后，NCTM发布《数学教学的职业标准》[6]，同样将问题提出活动作为教学的目标：“从问题解决的视角看，数学教学不仅仅是解决非常规的，且常常被认为是孤立的问题，或典型的教材问题．它还包含对数学学习本质的认识，如学习数学就是经历探究、猜想、检查、检验等问题解决的方方面面．给学生提供的任务应该是他们可以完成的，能够拓展他们的知识和问题解决能力．学生应有机会从给定的情境中提出（Formulate）问题，或通过改变给定问题的条件创设（Create）新问题．”2000年，在《学校数学教育的原则和标准》中，作为第一个过程性标准的问题解决，其第一段话阐述如下：“问题解决指的是从事一件事，但完成此任务的方法事先并不清楚．为了找到解答方法，学生必须运用他们的知识．在此过程中，通常他们会对数学有新的理解．问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式．学生应当有很多机会提出、理解和解决需要努力才能解决的复杂问题，并应该鼓励他们反思自己解答的思维过程．”[7]而在美国当前被广泛采用的，2010年由全美州长协会和首席州立学校官员理事会颁布的《州际共同核心数学课程标准》中，数学实践标准的“策略地使用恰当工具”标准有以下表述：“不同年级的学生还能发现相关的数学资源，如网络上的资源，并利用它们提出问题、解决问题．学生可以利用技术工具进行探究，并加深对概念的理解．”[8]

以上4个课程标准是美国数学教育改革中较为重要的文件，都将培养学生的数学问题提出作为一个重要的教学目标和教学手段．从一开始提出让学生提出问题的必要性，到将问题提出与问题解决进行比较，强调问题提出的特殊教育价值，最后到从更具体的角度为学生提供挖掘问题提出素材的方法等．可以看出，美国数学教育界广泛认可数学问题提出的重要性，重视让学生提出自己的数学问题，对问题提出有较高的期望．

4 美国“期望课程”中的数学问题提出活动

4.1 教材中数学问题提出活动所占比例极低

教材是教学的重要参考，要使数学问题提出更多地出现在课堂中，教材首先需包含丰富的问题提出活动以供教师参考．然而，Cai和Jiang对两套美国改革型小学数学教材进行分析后发现，问题提出活动所占的比例非常低（表1）[9]．

表1 美国小学数学教材中问题提出题目所占比例

注：1. 探索数学教材系列不含有六年级；2. 日常数学教材系列中1~2年级是合编，故只有二年级数据；3.表示教材中所有问题的总数量．

对美国初中教材《关联数学3》（Connected Mathematics Project 3）进行分析后发现，初中数学教材中问题提出活动所占比例同样极低（见表2）．

表2 美国初中数学教材中问题提出题目所占比例

4.2 教材中问题提出活动的类型分布不均衡

教材中的数学问题提出活动包含多种类型，如Cai和Jiang曾将问题提出活动分为如下的4类[9]：（I）提出一个现实生活中的问题以满足特定的数关系，如算式、方程等（如例1）；（II）针对给定的数学关系或数学结构提出相似的问题（如例2、例3）；（III）根据已知信息和范例问题提出更多的问题（如例4）；（IV）根据已知信息提出问题（如例5）．需要说明的是，类型II中的部分问题提出的题目可以认为是有范例问题的，其与类型III的问题的主要区别在于，类型II要求学生提出满足特定数学关系或结构的问题，而类型III要求学生提出任何类型的数学问题．

例1[10]：来自美国教材中第I类型问题提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Integers and Rational Numbers）

评析：此题要求学生根据方程式提出具有现实意义的数学问题．除此之外，还可要求学生根据算式、图形等提出数学问题．这也是美国教材中一类较为典型问题提出活动．

例2[11]：来自美国教材中第II类型问题提出的例子（Everyday Mathematics，二年级第一册）

评析：类型II给出一个范例问题，需学生模仿范例中的问题来提出相同结构的数学问题．此题要求提出的问题能用加法算式进行求解．例如：“岸边有5个人穿黑色衣服，4个人穿白色衣服，问岸边总共有多少人？”

例3[12]：来自美国教材中第II类型问题提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Understanding Similarity）

评析：在此单元（Understanding Similarity，理解相似）中，四边形、不规则图形相似是一个较为重要的知识点．在练习题25中，根据7:5=21:15，学生可能提出的问题为“已知两个相似矩形的周长分别为12和36，求小矩形与大矩形的相似比”．若学生提出“已知两个矩形的周长分别为12和36，求小矩形与大矩形的相似比”，则教师可对其错误认知进行针对性的教学，即正方形一定是相似的，而矩形未必都是相似的．

例4[13]：来自美国教材中第III类型问题提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Quadratic Functions）

评析：此题以均分广告文案的奖金为情境，首先给出2个范例问题，在c问中要求学生提出3个新的数学问题：一个更容易用图像回答的问题、一个更容易用表格回答的问题、一个更容易用方程回答的问题．这是一个很好的用以教学函数不同表征方式的数学活动．

例5[11]：来自美国教材中第IV类型问题提出的例子（Everyday Mathematics，三年级第一册）

评析：此类问题并未给出范例问题．要求学生根据题干的数学信息进行提问．可以看出，此类问题提出活动可更多地运用在统计教学中．

统计美国小学、初中数学教材中4种问题提出题目类型的分布情况，见表3．3套教材中问题提出的活动主要集中在类型I，即要求学生根据给定的算术运算式来提出问题．其次是类型II，针对给定的数学关系或数学结构提出相似的问题．3套美国教材中类型III和类型IV的问题所占比例极低，特别是探索数学中类型IV的数量为零．4类问题提出题目的分布很不均衡．

表3 美国数学教材中问题提出题目类型的分布（%）

综上，与“计划课程”中强调问题提出的重要性形成强烈对比，美国“期望课程”中的数学问题提出活动所占比例极低，不同类型问题的分布也不均衡．总体来说，这3套教材的编写未能较好地体现课程标准对问题提出的高期望．

5 美国“实施课程”中的数学问题提出

美国已有一些运用“数学问题提出”进行教学的课例．如Chang描述了这样一个案例[14]．一个7岁的儿童可以通过恰当的教学，在解决问题后提出数学问题．教师要求学生求解以下数学问题：“农民的果园里有4棵苹果树，每棵树上有3个成熟的苹果．男孩过来吃光了一棵树中成熟的苹果，问现在果园中还剩多少成熟的苹果？”教师首先以真实的苹果为教具，帮助学生求解问题，并通过画画的方式进行验证．随后，提出第二个问题：“农民的篮子里有20个苹果．他给了汤姆2个，又给了萨利7个，在回家的路上，自己又吃了3个．问篮子里还剩多少个苹果？你是怎么求解这个问题的？”通过以上教学铺垫，教师根据以下对话引导学生提出数学问题：“泰勒，你觉得你现在可以提出自己的问题了吗？”在这个过程中，教师首先提供了具体问题，在解决问题之后又自己提出问题，不仅为学生提供可解决的数学问题，还提供了问题提出的范例，帮助学生学习如何提出问题．

Deborah老师在二年级的班级中开展了为期5天的课堂教学，她鼓励学生提出自己的数学问题[15]．她以小册子《此房数学造》（The House that Math Built）作为学生进行问题提出的蓝本，在第一天的教学中，她激发学生对教室中所隐含数学信息的兴趣，如“你的教室中还需要什么？”在第二天的教学中，鼓励学生提出问题，如“我不知道凳子的长度是多少”；接下来的一天，引导学生求解问题；第四天，学生交流自己的发现；最后一天，学生对自己所提问题及解答进行反思总结．

Barbara等在教学四年级学生时[16]，以图2作为问题情境，首先提出以下问题：“32右边的数是多少？”“32上面的数是多少？”“99下面的数是多少？”在结合电子软件对这一情境的“无限增长”进行教学后，教师引导学生思考以下问题：“如果从2开始会怎样？或者，可以从-1开始吗？”“数字可以递减吗？”最后，教师要求学生提出自己的数学问题．Whitin则结合问题提出的教学方式，引导四年级学生对若干个单位正方形的不同组合方式如何影响周长进行了探究[17]．

图2 问题情境（一）

Perrin在中学微积分教学中融合了问题提出[20]．其教学主要强调以下7点：（1）学生需在一个学年的课程中完成两个问题提出的研究课题，第一学期是微分，第二学期是积分；（2）学生需提出真实的数学问题作为起点，如学生不能提出微积分的问题，那么他们可以探究校外感兴趣的主题，或练习册中较难的题目，在此基础上提出新的问题；（3）对于相同的问题，最多允许两个学生独立探究；（4）学生探究的问题应事先通过教师的许可，但课题的方向、深度等教师不作干涉；（5）学生可以向教师寻求帮助；（6）学生能得到教师的提示，包括课题中应当包含哪些主要成分，以及大致的评分标准；（7）在完成课题后，学生要完成一个关于问题提出的调查问卷．

也有运用信息技术辅助提出问题进行教学的案例，如在课堂中要求学生运用电子表格提出新的数学问题[21]．从目前的结果来看，关于问题提出的案例远远少于问题解决的案例，这说明问题提出在课堂实施中与“计划课程”中的高期望不符．

6 美国“获得课程”中的数学问题提出

6.1 美国学生能提出重要的数学问题

美国学生能在不同的情境中提出数学问题．如对于问题情境1[22]，美国小学生能提出以下问题：“这是什么模式？”“这些图是怎么越来越大的？”“黑点数的模式是什么？”“白点的个数是怎么增加的？”，等等．

问题情境1：王老师根据某一规则画出了图3：

王老师希望根据上面的情境提出3个问题（简单的，中等难度的，较难的各一个），作为学生的家庭作业．

问题情境2：已知安妮有34个弹珠，比莉有27个弹珠，克里斯有23个弹珠．运用以上信息，写出并求解尽可能多的数学问题．

而在问题情境2中[23]，美国初中学生能提出以下问题：“他们总共有多少弹珠？”“比莉比克里斯多多少个弹珠？”“萨米有103个弹珠，要使这3人所拥有弹珠的数量与萨米相同，他们还需要多少个弹珠?”“安妮能不能给比莉和克里斯一些弹珠，使得3人弹珠的数量相同？”“如果比莉给克里斯一些弹珠，他需要给多少，才能使得两人所拥有的弹珠数量相同？”“如果安妮给克里斯一些弹珠，她需要给多少，才能使得两人所拥有的弹珠数量相同？”

Cai等的研究表明，美国学生在求解线性方程组和函数图像的问题后，能提出较好的数学问题[24]．此外，还有研究表明，美国学生在各种不同的情境中都能提出不同难度的数学问题[25-28]．

6.2 问题提出活动对美国学生数学成绩和学习态度的影响

已有研究表明，问题提出活动有助于提高学生的数学成绩和学习态度．Perrin在进行了为期一年的问题提出研究课题的教学后，对学生进行了调查，结果表明，学生普遍认为这个课题的学习使他们提高了对数学和微积分的兴趣，且其特定内容的微积分知识得到了提高[20]．English发现，五年级学生在经历了问题提出的活动后，能提出更多、更复杂的数学问题[29]．此外，数学问题提出还对培养学生的创造力有所帮助，如Silver认为，通过合理地结合问题提出和问题解决进行教学，可以培养学生的创造力[30]．

Silver的研究表明，相对于教科书中传统的问题解决任务，较为新鲜的问题提出活动似乎更能激发起学生的学习兴趣[31]．由于问题解决过程涉及不断提出和求解问题，且提出复杂问题的能力似乎与较强的问题解决能力相关[27]．因此，鼓励学生提出数学问题不仅有助于他们理解问题情境，还能帮助他们发展更多的问题解决策略[1]．相似的，在Harpen和Presmeg研究中，大部分美国学生认为问题提出在学校数学中非常重要[28]．如，拉蒙纳认为表示问题提出的活动能帮助她理解问题的结构；斯嘉丽认为问题提出能帮助他们认识到自己的数学学习中哪些内容较为重要；还有学生表示，问题提出能帮助他们求解问题，因为这种活动有助于更好地阅读问题．另外，Chang在经历了问题解决与问题提出相结合的教学后发现，学生不仅能自信地求解数学问题，还能自己提出数学问题，并进行正确的解答[14]．而且，在一些以职前教师和在职教师作为被试的研究中，也得到了类似结论[1]．

7 启示

尽管作为“计划课程”的美国课程标准对“数学问题提出”有着较高的期望，而且，已有研究也发现问题提出活动对美国学生的学习成绩和态度有一定的积极影响，但数学问题提出在作为“期望课程”“实施课程”以及“获得课程”的教材编写及实际教学中并未得到同等地位的重视．尽管作为教学目标的问题提出已得到较为广泛的认可，但这种不那么“常规”的教学手段要在美国教材和实际教学中进一步落实，仍面临着较大的挑战．

中国数学课程标准同样对问题提出有所期望．如2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，4个目标之一的知识与技能目标中，第一项和第三项均涉及问题提出，如在解决问题目标中有以下表述：“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．”[32]《普通高中数学课程标准（实验）》《义务教育数学课程标准》《普通高中数学课程标准（2017版）》也将培养学生提出问题的能力作为课程目标[3，33-34]．然而，对“数学问题提出”的要求不能仅停留在课标层面，教材的编写、课堂的实践同等重要．

7.1 数学教材应增加数学问题提出活动的比例与类型

教材是教师教学的重要参考，在美国中小学数学教材中，问题提出活动所占的比例极低，类型也较为单一．中国小学数学教材中的数学问题提出同样如此[9，35]．为解决此问题，一方面，在教材的编写中，应适当加强问题提出活动所占的比例，增加问题提出活动的数量，为学生提出问题创造更多的机会．另一方面，可增加数学问题提出的类型，帮助学生提出不同的、更高质量的数学问题．中国人教版小学教材已做出较好的尝试，研究发现，相对于旧版本教材，新版本教材包含了更多的问题提出活动，且类型更为丰富[9]，但仍有较大提升空间．

7.2 如何运用数学问题提出进行教学

相对于问题解决，很多教师并不熟悉运用问题提出进行教学．如何在尽量保持现有教学模式的基础上，结合问题提出进行教学？Cai和Hwang给出了以下3点建议．第一，教师通过改编现有课程材料为学生创造提出问题的机会．可删去应用题中的提问句，如问题情境2若出现在教材中，原来的提问可能是“三人共有多少颗弹珠？”亦可在让学生解决问题后提出新的问题，“你还能提出其他类似的问题吗？”第二，增加课标中问题提出的范例，列出学生可能会提出的数学问题，能帮助较少运用问题提出进行教学的教师更好地进行教学准备和教学处理．第三，让学生提出不同难度的数学问题（如问题情境1），促进教师理解学生不同水平的数学，从而进行针对性的教学．

除以上美国课堂中的案例，中国还有文[36-42]等教学实践，但这样的案例还远远不够．在不同课型、不同教学内容、不同学段中如何更好地运用问题提出进行教学，还需要进一步的努力．

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“Problem Posing” in Mathematics Curricula in USA——Expectations and Challenges

XU Tian-lai1, CAI Jin-fa2, 3

(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China; 3. Department of Mathematical Sciences, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

From the perspectives of the planned curriculum, the intended curriculum, the implemented curriculum and the attained curriculum, this paper expounded and commented on some expectations and challenges in implementing “Problem Posing” in American mathematics curriculum. Through analysis, we found that the importance of problem posing had been widely recognized in American mathematics education and had been explicitly mentioned in NCTM mathematics curriculum standards for the past 30 years. In contrast to this, the problem-posing activities in American mathematics textbooks and classroom practice were still very scarce. Lastly, we also discussed how to increase the proportion and types of problem-posing activities in mathematics textbooks and how to use problem-posing in mathematics teaching.

mathematical problem posing; curriculum; textbook; teaching

2019–03–22

西南大学引进人才（教育部“长江学者”讲座教授）计划项目——数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究（SWU118118）；广州大学全日制研究生“基础创新”项目——基于问题驱动的高中代数教学研究与教学内容的重构（2017GDJC-D03）

许天来（1990—），男，广东博罗人，广州大学博士生，美国特拉华大学访问学者，主要从事数学教育研究．蔡金法为本文通讯作者．

G424

A

1004–9894（2019）02–0018–06

许天来，蔡金法．美国数学课程中的“问题提出”——期望与挑战[J]．数学教育学报，2019，28（2）：18-23．

[责任编校：陈隽、陈汉君]