义务教育阶段学生数学符号意识分析层次的构建

朱立明



义务教育阶段学生数学符号意识分析层次的构建

朱立明

（唐山师范学院 教育学院，河北 唐山 063000）

数学符号意识作为义务教育的一种数学核心素养，表现为动态的认知过程．从数学符号意识的内涵出发，通过实证研究得出学生数学符号意识具有可测性，并初步从内隐性与外显性两个方面构建了学生数学符号意识的4个分析层次，即感知与识别、理解与运算、联想与推理、抽象与表达，每个分析层次详细划分了3个具体操作指标．该分析层次为数学符号意识这一隐形课程目标的测评提供参考．

数学符号意识；义务教育；实证研究；分析层次

1 引言

1.1 研究背景

符号意识写入了中国《义务教育数学课程标准》（2001年提出符号感），但数学符号意识的培养研究相对滞后．由于教育理念从以知识为本到以人为本的转变，发展学生的符号意识已成为中小学数学课程的目标，是中国义务教育阶段的一种数学核心素养，体现数学学科的逻辑性与学生的认知水平．数学符号意识超越了所要表达的具有象征性的事物，使数学从冗长繁琐的文字表达束缚下释放出来，数学在真正意义上成为传达思想的媒介．作为数学抽象物的一种表现形式，数学符号既是对现实世界数学关系结构的抽象，也是数学学科内部规律的集中体现．因此，发展学生的符号意识已成为中小学数学课程的目标，符号意识也成为中国义务教育阶段一种数学核心素养．因此有必要对数学符号意识进行研究．

1.2 研究问题

要培养义务教育阶段学生的符号意识，首先，需要弄清楚什么是数学符号意识，这就必须对数学符号意识本身有清晰的认识；其次，需要对教师是否在数学教学活动中有效地培养了学生的符号意识进行合理的价值判断，即如何对学生数学符号意识进行测评？因此，研究旨在探究与形成数学符号意识分析层次与操作指标，为数学符号意识的测评提供指引．

1.3 研究意义

数学符号是数学知识表达的核心工具，能够清晰而简明地表达数学知识、数学规律以及数学思想．数学符号是数学领域对客观事物本质属性的思维加工，是通过感官刺激在头脑中形成的“烙印”，不会随着客观事物的消亡而消失．义务教育阶段，学生在数学学习中要面临多种数学符号的考验，每一个新的符号出现，对于学生都是陌生的．因此，数学符号像一把“双刃剑”，在使数学教育清晰化的同时也给数学教育带来困难，主要表现在，数学教育尤其是义务教育阶段，如何让学生能够更好地感知数学符号化之后所要表达的数学意义．因此，在数学教育中，不仅应该经历利用数学符号进行运算与推理的过程，还应该明白在运算与推理的背后所蕴含的道理．在这个意义上，数学课程中要求形成学生的数学符号意识．

2 文献综述

为了构建数学符号意识的分析层次，在检索相关期刊论文研究成果的时候，以“2001—2016年”为时间节点，采用“全文”的方式，保证收集到的文献尽量全面，更多选取核心期刊的杂志，保证所用文献的权威性．2001—2011年以“符号感”为“全部字段”的方式进行检索，2011—2016年以“符号意识”为“全部字段”的方式进行检索．重点分析蕴含数学符号意识维度的相关研究，通过对文献的收集整理发现，目前关于数学符号意识维度的研究成果主要集中于能力、心理、行为、多重4个取向，详细观点如表1所示．能力取向的数学符号意识，在维度划分的过程中更加关注数学符号意识的能力表现，将学生的符号能力作为数学符号意识的核心内容，较少考虑其它因素．心理取向的数学符号意识，在维度划分的过程中更加关注数学符号意识心理层面的表现，将学生的数学符号心理倾向作为数学符号意识的核心内容．行为取向的数学符号意识，在维度划分的过程中更加关注学生的行为表现，将学生对数学符号的处理作为核心内容．多重取向的数学符号意识维度划分即兼有前面3种取向中两种以上取向的数学符号意识维度的划分．

通过对数学符号意识所分维度的关键词进行提炼，主要可以得到如下关键词：认知、鉴赏、预估、选择、思考、理解、运用、感知、操作、抽象、转换、直觉、表达、运算、推理、记忆、存储、提取、发现、反省，如图1所示．

3 研究方法

3.1 被试选取

选定的专家结构包括高等院校的数学教育理论研究者、中小学教研员以及教学一线的专家型教师．数学教育理论研究者来自东北师范大学、陕西师范大学、首都师范大学、华中师范大学、华南师范大学、西南大学、重庆师范大学等，在数学素养、数学核心素养、数学符号意识等领域都曾有过一定研究．所选的数学教研员与一线数学教师，是来自四川、河南、河北、广东、天津等地，都是数学名师、小学或是初中名师工作室的主持人，具体结构如表2所示．他们所提的意见与建议具有一定的说服力，对该研究中数学符号意识分析层次的构建具有一定的指导意义．

表1 学生数学符号意识的关键词摘要

图1 数学符号意识关键词频率统计

表2 所选教师群体的结构

3.2 研究工具

通过对上述关键词进行分析，有的是表示心理活动倾向的，例如认知、抽象等，有的是表示外显行为的，例如表达、操作等，并且其中的一些关键词具有程度上的不同．例如，感知、认知、理解、抽象实际上是学生对数学符号的心理活动倾向不断升高的表现．经过统计发现，思考、直觉、记忆、存储、提取、反省出现的频率最低（1.19%），发现（2.38%）、鉴赏（3.57%）、预估（3.57%）出现的频率较低，将其删除．频率最高的是数学符号的理解（16.67%）．初步得到数学符号意识分析层次的关键词包括：选择、理解、运用、感知、操作、抽象、转换、表达、运算、推理．并依此制定专家问卷，每个层次划分具体操作指标，利用Likert五级量表形式进行计分，从“非常不同意”到“非常同意”，依次赋分为1~5，得分越高，表明对数学符号意识分析层次的描述认同度越高．

3.3 专家咨询

依据分析得出数学符号意识分析层次的10个关键词：选择、理解、运用、感知、操作、抽象、转换、表达、运算、推理，然后对专家进行咨询，例如，您认为不合理的或者需要增减的层次，专家亦可在“修改意见”处填写自己对数学符号意识分析层次的相关意见或建议．专家咨询问卷采用两种方式进行发放，第一种是以电子邮件的形式发送给31位专家（主要是高校数学教育理论研究者），共回收有效问卷28份，回收率为90.3%；第二种是借助秋季国培班，发放问卷103份，专家结构包括高校数学教育理论研究者17人，教研员35人，一线专家型教师51人．回收有效问卷99份，回收率为96.1%．两次共发放问卷134份，回收有效问卷127份，回收率为94.8%．专家咨询问卷回收之后，从集中度（即专家对分析层次适合度测评的平均分）、离散度（即专家对分析层次适合度测评的离散程度）、变异系数（即离散度与集中度的比值）3个统计量对专家反馈结果进行分析．

专家群体比较同意关于数学符号意识分析层次的划分．虽然专家群体大体上认可数学符号意识分析层次的划分，但是他们也同样认为，有些分析层次和操作指标需要删除、修改、整合．S专家认为：“当前数学教育的最大价值应该在于使学生能够用数学的眼光来看待现实世界，用数学的思维来思考现实世界，用数学的语言来表达现实世界，因此，数学符号的表达是非常关键的，表达主要是指书面上的．除此之外，数学符号意识具有双重性，内隐的心理倾向与外显的能力表现，如果在层次的设定过程中能够同时表现出内心活动和外在表现，这样是比较全面的，在操作指标上也要体现进阶性．”Z专家指出：“数学符号的选择并非是培养数学符号意识的重点所在，从内涵上讲数学符号的选择范围过于宽泛，与《标准（2011年版）》也不太一致，并且与其它分析层次，例如，数学符号的运用、操作之间的关系不容易界定，数学符号的运用与数学符号的表达、运算、推理存在交叉，数学符号的操作包含了数学符号的运算与推理．”H专家认为：“符号意识不是运算能力也不是推理能力．符号意识应该包括符号的意义、符号的功能和符号的表达交流．其中最核心的是符号的数学意义，即心理图式．核心是符号概念的二重性．”还有专家也提及数学符号的运算是有内在逻辑的，在某种意义上也是一种推理，建议与数学符号的推理进行合并．

经统计，从集中程度来看，专家们对数学符号意识分析层次适合度选择的平均分刻画了专家意见的集中度，各分析层次的平均分为3.176~4.419，其中，数学符号的选择（3.512）、数学符号的运用（3.334）、数学符号的转换（3.176）低于3.75（5分量表的75%等级值），其余分析层次均高于3.75．从离散程度看，各数学符号意识分析层次的标准差在0.471~0.764之间，所有分析层次的标准差均小于1，说明专家意见相对比较集中．由于平均值和标准差都是平均指标，有时这二者表示的结果可能不完全一致，这时就需要使用变异系数（标准差与平均值的比值）进行判断，反映专家对分析层次进行测评的协调程度．由于所有分析层次的变异系数在0.119~0.218之间（数值均较小），反映了该研究中所选取的专家群体对于数学符号意识分析层次的测评协调程度较高．

综合以上专家意见与建议，对数学符号意识分析层次进行修改，保留数学符号的理解、感知、抽象、表达、运算、推理6个关键词，具体修改结果如表3所示．

3.4 探索性因素分析

通过对所得6个关键词加以解读，再次利用专家问卷调查，并进行主成分分析．在此之前，分别考察值、值和Bartlett球形检验判断，值是判别个别题项是否适合投入因素分析程序中的，与抽取共同因素的个数无关．当某题项的值越接近1，表明该题项越适合投入因素分析的程序中．当值小于0.6时，则题项不适合进行因素分析，应删除．根据学者Kaiser（1974）的观点，如果值小于0.5时，不适宜进行因素分析，值越大，Bartlett检验的卡方值越显著，说明数据越适合进行因素分析．一般地，进行主成分分析的准则至少值要在0.6以上[28]．在验证之后，采用主成分分析法，提取共同因素（特征值大于1），求得初始负荷矩阵，再用最大方差直交转轴法，求出旋转因素负荷矩阵．结果显示，值均大于0.6，值为0.904，Bartlett球形检验2值为321.847（=133，=0.00）达到极显著水平，说明适合做因素分析．

表3 学生数学符号意识分析层次修改意见统计分析

下面进行因素分析，得到碎石图如图2所示．从图中可以看出，第五个因素以后，坡度线变为平坦，表示无特殊因素值的提取，因而保留4个因素较为适宜，这4个因素与设想编制的层次及题项符合．

图2 学生数学符号意识分析层次第二次主成分分析

将上述提取的4个因素进行命名，共同因素一的构念名为数学符号理解与运算，共同因素二的构念名为数学符号联想与推理，共同因素三的构念名为数学符号感知与识别，共同因素四的构念名为数学抽象与表达，其因素分析结果统整如表4所示．

采用主成分分析萃取法共抽取4个共同因素，4个因素的特征值分别为3.950、1.681、1.129、1.035，4个因素构念联合解释变异量为64.963%，大于60%．第一个因素（理解与运算）最大因素负荷量为0.823，第二个因素（联想与推理）最大因素负荷量为0.854，第三个因素（感知与识别）最大因素负荷量为0.835，第四个因素（抽象与表达）最大因素负荷量为0.812，因素负荷量情况较好．旋转后的因素负荷矩阵和累积解释变异量表明提取的4个因素对整个测评问卷的有效程度较好．

下面考察每个分析层次的操作指标，从表5来看，各操作指标的平均分为3.165~4.371，其中，感知与识别的3个指标以及联想与推理的两个指标的得分低于3.75，有专家认为数学符号感知与识别是最低层次，不应该涉及到数学符号的意义和抽象，而联想与推理的指标描述不够清晰，根据专家意见对其进行修改．

3.5 验证性因素分析

利用AMOS 21.0进行一阶12因子斜交模型验证因素分析，得到其结构模型，如图3所示．模型各项适配主要适配指标如表6所示．从结果可以看出，卡方自由度的比值为1.318<3.000，值等于0.021<0.05，值等于0.032<0.05，指标、、、、、的值在0.932~1.023之间，均大于0.900，基本符合模型适配标准．指标、均大于0.500，值大于200[29]，综合指标考虑，认为一阶12因子模型拟合程度较好．由相关性分析结果显示，一阶因子概念之间存在高度相关性，因此，进行二阶验证因素分析．如表7所示，从表中数据可知，一阶12因子二阶4因子的模型拟合效果良好，数学符号意识分析层次结构模型的基本适配指标均达到检验标准，表示验证性因素分析模型与实际观察数据的适配情况良好，这表明通过探索性因素分析得到的4个一级层次和12个操作指标是比较合理的．

表4 第三学段数学符号意识测试卷的建构效度

表5 学生数学符号意识操作指标修改意见统计分析

表6 一阶12因子模型拟合指数

表7 一阶12因子二阶4因子模型拟合指数

3.6 信度与效度

在因素分析确定测评问卷良好的建构效度之后，为了进一步说明测评问卷的可靠性与有效性，下面对测评问卷进行信度检验．一般地，一份优良的教育测试至少应该具有0.80以上的信度系数才比较具有使用的教育价值．其中，分测评的信度指标值至少要在0.60以上，低于0.50则表示分测评信度指标欠佳．整个测评问卷最低内部一致性信度系数要在0.70以上，最好能够高于0.80．学生数学符号意识分析层次Cronbach’s值在0.807~0.828之间，总量表的Cronbach’s值是0.845，如表8所示，均大于0.800，表明量表信度很高．通过信度检验，测评问卷的信度指标基本达到了测量学要求，适宜作为测量工具使用．

图3 数学符号意识分析层次结构模型

表8 学生数学符号意识分析层次信度分析结果（α）

下面考察各分析层次之间的关系，利用相关分析来检验各分析层次之间是否存在相关性．如表9所示，从表中可以看出，组内两两层次相关达到0.01的显著性水平，相关系数在0.402~0.738之间，为高程度正相关．4个层次与总量表之间相关系数在0.568~0.880之间，表明各层次与整个问卷一致，达到高程度正相关．

表9 各分析层次间的相关系数矩阵

4 讨论与结论

4.1 讨论

与以往相关研究相比，存在一致性与差异性．一致性表现在该研究从实证研究出发，得出学生数学符号意识这一隐形的课程目标是可测的，是可以通过问卷测评来了解学生数学符号意识的发展阶段，以及各阶段所表现的具体特征，并构建了学生数学符号意识的分析层次[6，17]．不同之处主要表现在以下两个方面：第一，研究对象的拓展．不同于其它只关注某一阶段学生数学符号意识的研究[27]，该研究立足于整个义务教育阶段，这有利于实现小学与初中之间的衔接．这是因为，小学和初中数学教育在形式上是分开的，课程标准是分段的，但是学生数学符号意识的发展是具有一定连贯性．第二，研究内容的兼并．该研究所构建的4个分析层次同时关注数学符号意识的内隐性与外显性，前者（感知、理解、联想、抽象）描述的是学生数学符号意识的心理倾向，后者（识别、运算、推理、表达）描述的是学生符号的能力表现．总之，这里构建的学生数学符号意识分析层次，为学生数学符号意识的培养、发展与测量，以及学生符号思维的形成提供了重要参考．

当然，该研究还存在一些不足之处与后续的研究．第一，义务教育阶段学生数学符号意识测试题的编制还有待研究与完善．如何编制一套有效的测评问卷，是评价学生数学符号意识的关键．第二，如何对学生进行测试并跟踪研究也是重点课题，数学符号意识本身具有一定的连贯性，从一~九年级，学生数学符号意识是在不断发展变化的，如何寻求关键节点，从而为教学内容与教学策略的选取提供一定的依据是非常有意义的．

4.2 主要结论

主要通过专家意见咨询，探索性因素分析与验证性因素分析，结合实证研究构建数学符号意识分析层次．

第一，义务教育阶段学生数学符号意识具有可测性，包含了内隐性与外显性两个方面．内隐性主要反映学生数学符号意识的内心倾向（感知、理解、联想、抽象），外显性主要反映学生数学符号意识的外在表现（识别、运算、推理、表达）．

第二，义务教育阶段学生数学符号意识由从低到高4个分析层次构成，分别是数学符号的感知与识别、数学符号的理解与运算、数学符号的联想与推理、数学符号的抽象与表达．

第三，在义务教育阶段学生数学符号意识4个分析层次之下包括12个操作指标，每个分析层次包含3个具有指导性的操作指标，具体如表10所示．

表10 义务教育阶段学生数学符号意识分析层次

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Construction of Students’ Analysis Level of Consciousness of Mathematical Symbols in Compulsory Education

ZHU Li-ming

(Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China)

Consciousness of mathematical symbols, one of the key competences in compulsory education, was show as the dynamic cognitive process. Start from the connotation of the consciousness of mathematical symbols, we could see that the consciousness was measurable through empirical study, and this study preliminarily forms 4 analysis levels of students’ consciousness of mathematical symbols extrinsically and intrinsically, namely, perception and recognition, understanding and operation, association and reasoning, abstractness and expression, each of which was divided into 3 specific operating indicators. This analysis level provided a reference to objective evaluation for consciousness of mathematical symbols, the hidden curriculum goal.

consciousness of mathematical symbols; compulsory education; the empirical research; analysis level

2019–01–10

河北省社会科学发展研究课题一般项目——义务教育学生数学核心素养体系构建与培养研究（2018030401142）；河北省高等学校人文社会科学研究项目——数学新手型教师关键能力生成机制的跟踪研究（SZ18058）；河北省教育厅人文社会科学重点项目——河北省小学生课业负担测评模型构建与应用研究（SD182012）

朱立明（1986—），男，河北承德人，讲师，博士，主要从事课程与教学论研究．

G420

A

1004–9894（2019）02–0081–06

朱立明．义务教育阶段学生数学符号意识分析层次的构建[J]．数学教育学报，2019，28（2）：81-86．

[责任编校：周学智、陈汉君]