数学教师学习使用“问题提出”教学法的个案研究——以“用字母表示稍复杂的数量关系”为例

陈 婷徐 红徐冉冉张 萍蔡金法



数学教师学习使用“问题提出”教学法的个案研究——以“用字母表示稍复杂的数量关系”为例

陈 婷1，徐 红2，徐冉冉3，张 萍3，蔡金法3，4

（1．西南大学 基础教育研究中心，重庆 400715；2．新街长山小学，浙江 杭州 311217； 3．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；4．美国特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

对一位小学青年数学教师如何学习运用“问题提出”教学进行个案研究．该教师先后使用“问题提出”教学法和传统教学法设计并执教同一节课．在比较了两节课的异同之处、描绘了学生参与的课堂场景后，又对该教师在运用“问题提出”进行设计和执教该节课的过程中所遇到的挑战及克服挑战所使用的策略进行了总结．研究发现：问题提出教学法比传统教学法有优势，合作伙伴对教师的问题提出教学有重要作用．

简易方程；数学教师；问题提出：教师学习：个案研究

1 引言

教学是一种专业性很强的活动，教师在专业上需要不断发展和提高．教师专业发展、课堂教学变革以及促进学生学习三者之间存在着复杂的关系[1-2]．已形成的共识是，在教师专业发展过程中，教师通过改变自身的信念和知识来改变课堂教学，从而促进学生的学习[3]．课堂教学是影响学生学习的重要因素，虽然长期以来，学界一直积极致力于实现课堂教学变革，但课堂教学变革依然面临诸多挑战．值得欣慰的是，改进课堂教学是有可能的[4-5]．一些个案研究显示，随着时间的推移和持续的干预、支持和合作，教师可以改变他们的教学行为[6-7]．

目前，大多数关于教师专业发展的研究主要从研究者的角度、制度等方面探寻促进教师专业成长的因素[8]，很少有研究从教师的角度关注教师通过努力产生的积极变化．研究表明，从教师自身的视角审视教师对数学和教学实践的信念，为了解他们的信念提供了一个独特的窗口[9-10]．那么，从教师自身的角度来刊，教师在课堂教学变革方面所做的努力都有哪些呢？具体来说，教师运用问题提出进行教学的课堂是什么样的？它与不使用问题提出教学的课堂有何不同？教师在学习使用问题提出教学时遇到了哪些挑战？又是如何克服这些挑战的呢？

2 理论基础

2.1 教师学习的情境取向

当前关于教师学习的研究关注情境学习的重要性以及如何获取与专业情境相关的知识．情境取向的中心原则是，人们深处其中的学习情境和活动是所学内容的基本组成部分[11]．基于情境取向的教师学习研究表明，促进教师专业发展和帮助教师克服困难有两个关键：一是为教师专业发展提供学习情境；二是培养教师专业发展认同感，即教师在学习情境中改变他们的教学、克服心理障碍以及确定新的教学方法[4]．因此，需要为教师创造适宜的学习情境．此外，教师还要有量身定制的专业学习机会，以及具有不同知识、技能的研究者在其职业生涯的不同时期支持和帮助他们[12]．教师与研究者的合作伙伴关系能够支持教师的学习并提供学习情境．此外，教师学习的情境取向也承认教师在专业学习和活动过程中社会文化参与的作用[4]．因此，教师的学习不仅依赖于教师自身的条件和需要，还需要依赖共同体中的彼此合作互动．也就是说，教师在一个促进其成长的共同体中的学习体验，能影响到他是否能够在学生中创建学习者共同体．也就是说，教师自身在教学上的努力可以引导教师通过在学生中组建学习者共同体，从而克服学生的学习困难．

2.2 设计研究

研究从设计研究的视角理解教师努力学习的过程．设计研究是把研究运用到设计过程中，也指在设计过程中进行研究[13]．设计研究可以帮助研究者理解教师学习运用问题提出的方法改进课堂教学的过程．教育领域的设计研究具有6大特点：① 长期集中于一个场景进行；②表现为设计、执行、分析、再设计的循环往复；③ 设计的教学干预有很强的情境依赖性；④ 强调检验并分析研究结果与先前的设计以及具体的情境之间的关联；⑤ 强调实践者与研究者紧密合作；⑥ 可以产生用于教学实践的一些知识，其他的实践者或设计者也可从中受益[13]．基于上述特点和启示，教师使用问题提出方法进行教学，经历了教学设计、执教、分析教学、再改进教学设计、再执教、再分析教学的设计研究循环思路，通过这一持续和循环的改进，解决了教师在改进教学中面临的挑战，并学会了设计、优化和使用问题提出方法开展教学．

3 研究设计

3.1 研究对象

徐老师是一位拥有10年教龄的青年教师．从教以来，她的课堂一直采用“提问+互动交流”的方式，已初步形成了自己的教学风格．2018年6月中旬，参加由蔡金法老师组织的“问题提出”工作坊培训后，第一次接触到了问题提出，她对问题提出教学产生了很浓厚的兴趣．经过3个月的学习、培训后，尝试用问题提出执教五年级下册的“用字母表示稍复杂的数量关系”一课，并在工作坊上进行了示范教学，获得听课教师的一致好评．2011年徐老师曾设计和执教过这节课，当时采用的是“提问+互动交流”方法．

研究选择徐老师以及她用两种不同方法设计并执教的两节课为研究对象，刻画一位青年教师学习运用问题提出进行教学的整个心路历程．

3.2 数据来源与分析

研究收集和分析了3类数据．第一类数据是前后两节课堂教学实录．对这两节课所提出和解决的教学任务的特点进行分析，目的是描绘问题提出的课堂，分析问题提出在教学设计和教学实施中的作用．第二类数据是工作坊的蔡金法老师和徐老师进行交流的电子邮件．网络交流的目的是帮助徐老师熟悉问题提出，并用问题提出的方法设计课．第三类数据是徐老师使用问题提出的教学法之后对她的访谈资料．对第一类和第二类数据（语篇）进行分析，目的是了解徐老师面临的挑战、她试图克服挑战所采用的方法，以及她在使用问题提出的方法设计和实施教学时所汲取的经验教训．在分析中，研究者尽可能少解释，尽量让徐老师自己“说”出她的挑战．

4 研究结果

分3部分报告研究结果．首先，对两节课进行全面描述，具体见表1．其次，分析两节课的异同．最后，基于网络交流与访谈的数据分析，通过徐老师教学方法的改变和试图克服这些挑战所采用的方式，来叙述、解释和讨论徐老师经历的心路历程以及在使用问题提出的方法时所获得的经验和知识．

4.1 两节课的整体描述

表1呈现了徐老师分别使用传统教学法（以下简称“课例1”）和“问题提出”教学法（以下简称“课例2”）执教“用字母表示稍复杂的数量关系”的教学实录．每节课被分成5个主要环节．

4.2 两节课的比较分析

通过分析总体教学过程，发现两个课例在前3个环节上有较大的差异．第一环节是预热活动，课例1采取的是常见的复习旧知、引出新知的方式．教师引导学生进行知识回顾，解决一些简单的含有字母的数量关系的问题．这里的问题是教师预先给定的常规问题，学生只需求解即可．在这个过程中，学生是被动接受的．课例2让学生根据算式提问题，这一形式是学生之前从未经历过的，也带有一定挑战性．

4.2.1 第二环节的对比

课例1在此环节采用了问题解决的方法．徐老师根据学生学习的基础，给学生提供了一个现实情境——倒饮料求剩余问题，这也是教材中呈现的问题．第一问要求写出代数式，由于数量关系的书写顺序与叙述顺序一致，学生一般不会感到有困难；第二问讨论未知量的取值，稍微有一定的难度；第三问代入求值，虽然含有两级运算，但同样对学生构不成挑战．

课例2在此环节采用了问题提出的方法，要求学生根据给定的数学表达式提出新问题．

师：你可以根据“3=?”来提出数学问题吗？每个同学思考一下，然后学生回答．

学生提出的问题有：

① 买了3台电扇，每台元，一共要多少元？

② 每盒糖果有颗，3盒糖果一共有多少颗？

③ 小红每天跑歩米，3天时间可以跑步多少米？

……

通过问题提出活动，教师引发学生通过思考、交流“怎样的两个量之间存在相乘的数量关系”，以此帮助学生回顾、梳理一些常见的数量关系．在生生互动中，每个同学都能完成对“3”的理解与描述，并在互动交流中达到培养符号感的目的．接着教师增加了数量关系的复杂性．

师：现在这个式子变成了“1 200-3”，你觉得现在可以提出怎样的数学问题？

随后，小组展示提出的问题并检验问题是否正确、合理，各小组之间有什么相同和不同．

学生提出了各种各样的问题，例如：

① 一条公路长1 200米，一天修米，修了3天，还剩多少米没修？

② 小明有1 200元，一本书的价格是元，买3本后还剩多少元？

……

实际上，现实生活中有很多问题都蕴含着这样的数量关系，这种设计方式可以让学生很自然地将用字母表示稍复杂的数量关系还原到自身的生活情境中．此外，以分组的形式提出数学问题，学生们都不甘落后，形成了良性竞争的竞赛氛围，激发了学生提出问题的积极性和主动性．

最后教师选取学生提出问题中的进行取值范围的探讨，由于这些问题都是学生自己提出来的，所以学生们都以浓厚的兴趣参与到讨论中．

而课例1直接给学生提供了现实情境——倒饮料求剩余的问题，让学生解决．学生仅是被动接受教师设定的问题情境，题目可能会对此并不感兴趣，由此他们的积极性可能会收到影响．相对于课例1，课例2的处理方式是“倒”过来的，这种“倒”过来的教学方式效果如何呢？

表1 两种教学法执教“用字母表示稍复杂的数量关系”课堂实录

4.2.2 第三环节的对比

两个课例在第三环节的相同点是均使用了教材中的图形，但教学任务完全不同．课例1教师根据图形给出了问题让学生去解答，学生只需要解决问题即可．但课例2中教师给出了图形，让学生提出数学问题．

师：这是用小棒摆的三角形，看到这个图，你觉得你可以提出什么样的数学问题来考考大家？提的问题越多越好．请大家写在作业纸上，并列出算式，一会进行交流．

学生提出了形形色色的数学问题，很多问题是老师没有想到的．这不仅很大程度上给了学生深度思考的机会，让学生感受到了提出问题带来的成就感，也促进了同伴间的交流与互相学习．

总体来说，课例2不管是根据代数式还是根据图形提出数学问题，让学生在提出问题、解决问题、交流解释问题等活动中逐渐理清了数量关系，使学生在相互作用中逐渐建立起对稍复杂的数量关系的结构认知和意义认知．可以看出，课例2的课堂氛围非常活跃，学生进行积极的思维参与，提出了自己的问题，并对同学提的问题作出自己的判断，所有活动都是学生自己“生成”，结论是学生自己“发现”的．相对于课例2，课例1是传统的“顺”着教的方式．显然，这样的教学方式也是很好的，美中不足的是，这样的活动不是学生自己“生成的”，未能触动学生的认知冲突，调动其积极性，较为依赖教师的引导．

4.3 徐老师面临的挑战及应对

徐老师是如何从传统的以问题解决为主的教学方式向以问题提出为主的教学方式进行转变，从而实现教学方式转型的呢？她在这一过程中面临的挑战是什么，以及她如何从最初对方法的迷茫（不了解）到逐渐清晰（理解），最后到掌握问题提出的教学方法呢？

4.3.1 徐老师面临的挑战

首先，对问题提出方法的陌生．虽然《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出要培养学生发现数学问题、提出数学问题、分析数学问题并应用所学知识和技能解决数学问题的能力，进而提高其数学实践能力[14]．然而，最近一项分析中国和美国5个版本的小学数学教科书的研究发现，教科书中只有很少比例的内容（约3%）与数学问题提出有关[15]．由于现行的教科书中包含很小比例的问题提出内容，课程标准中所提倡的将问题提出整合到课堂教学中的要求难以实现，教师对问题提出的了解少之又少，正如访谈中徐老师提到：“2018年6月，当蔡老师向我介绍用‘问题提出’教学法来教‘用字母表示稍复杂的数量关系’之前，我从未听说过此方法，我对‘问题提出’教学法仅停留在人教版教材练习课中类似于‘根据题意，你还能提出什么样的数学问题？’这一层面上．”

对于教师来说，无论是向学生提出问题还是帮助学生成为更好的问题提出者，自身的问题提出能力都发挥着重要的作用．然而，数学教育界对于如何帮助教师成为更好的问题提出者，如何帮助他们将问题提出运用于数学教学的研究甚少，可供徐老师学习借鉴的案例几乎没有．所以，徐老师面对的首要挑战是对问题提出方法的不了解．

其次，对课堂驾驭的不自信．作为一名青年教师，她习惯了用预先设计好的教学设计进行上课，但当让学生提出问题时，学生提出的问题会五花八门，不是能完全预料到的，徐老师担心放开让学生提问题后，课堂很难控制．因此，她需要尝试新方法，降低进度失控的风险．

最后，学生对问题提出的陌生．学生惯于接受问题、解决问题，问题提出教学活动给了他们提出问题的机会，这是与以前的学习方法相反的形式．访谈中徐老师谈到：“国内五年级学生擅长于根据所提供的题目列算式解决数学问题，而“逆”过来根据算式提出生活中的数学问题无疑是极富挑战性的．”

问题提出活动对学生的数学思维能力有较高的要求，在提出具有现实情境的数学问题时，学生的认知正在经历数学意义与实际情境的双向建构[16]．如果能提出比较复杂的问题也意味着同时具有较强的问题解决能力，这一点对于习惯解决问题的学生来说要求比较高．在徐老师尝试用此方法教学期间，她发现，要让学生全部充分参与这项活动是相当困难的．显然，这一点对徐老师来说也是面临的一个挑战．

4.3.2 徐老师的应对

首先，树立挑战自我，尝试新方法的勇气．当问及“你是如何下定决心来用问题提出的方法教这节课的？”徐老师表达了尝试新方法的明确意愿：“我非常喜欢并认同这种方法，而且蔡老师是我非常崇拜的导师，我一直记着蔡老师的一句话，‘一切决定都是为了有利于学生的学习，有利于学生情感的发展！’所以在我们名师工作室的一个研讨课活动中，蔡老师鼓励我用这种方式上课，我想有他的支持我肯定可以的．”

徐老师渴望挑战自我，渴望自己的专业发展能上一个新台阶，从情感上认同新的方法，这为她的艰苦探索开启了重要的一步．值得指出的是，与蔡老师一起建立的信任是她敞开心扉面对困境的关键．她最终选择了“用字母表示稍复杂的数量关系”这一课．当问及为什么选的是这节课而不是其它课时，徐老师说：“我仔细阅读研究教材后，感觉这节课还是比较适合用‘问题提出’来教学的．”

其次，寻求合作伙伴和团队成员的帮助，学习并掌握问题提出的方法．在蔡老师的鼓励与支持下，徐老师与蔡老师开始了长达3个月的电子邮件通信，蔡老师帮助徐老师明晰什么是问题提出教学，问题提出与课堂提问的不同之处是什么，如何用问题提出的方法设计第二节课．

徐老师花了3个月的时间来理解问题提出教学，通过与蔡老师多次沟通，她努力去了解如何用这种方法设计一堂课．蔡老师制定了一项计划，让徐老师把问题提出作为一种教学方法．首先，蔡老师推荐她阅读小学生和中学生如何根据问题情境提出数学问题，以及这些学生是如何提出数学问题的相关文章；其次，蔡老师介绍了在小学数学教学中运用问题提出的两个教学案例（一个案例是关于一个中国教师用问题提出教一年级数学，另一个是美国小学教师用问题提出教五年级数学）；最后，他介绍了用问题提出法教授“用字母表示稍复杂的数量关系”的初步思路．

一个月后，徐老师写出了教学设计初稿．她与团队成员分享了几次这节课的想法，并试图把这节课提炼成连贯一致的课．值得指出的是，她学习设计的这节课是在团队成员共同讨论中形成的．经过3个月的交流，她决定采用这种方法，并开始尝试它，尽管她不知道她的学生会有什么反应．

最后，学习并不断尝试、修正问题提出教学设计．徐老师多次“磨课”，一方面了解学生对“问题提出”教学的总体反应；另一方面发现教学设计中的不足，及时调整教学步骤与策略．例如，第一次上研讨课时，内容偏多，40分钟完成不了教学任务．根据团队成员和蔡老师的反馈与支持，不断调整总结，把和主题无关的内容全部删除，而以“问题提出”活动作为这节课的特色贯穿始终．

为了有效避免学生不能顺畅地根据算式、图示提出生活中的问题，通过与蔡老师的一系列讨论，首先设计了一个热身活动，让学生初步感受“倒”的过程，然后徐老师把全班48人，以4人为一组，分为12个小组进行问题提出活动．每个小组在规定的时间内只需提出两道最好的题目．这样，不同程度学生可以提出不同问题，有效消除学生的两级分化，让每个学生都能获得成就感，教师即可在学生的反馈答案中寻找到合适、满意的支撑教学顺利开展的题目．

经过修改，在第二次公开课堂上徐老师尽量发挥学生的主动性，让学生讲，学生评．正如徐老师所说：“整节课学生一直积极进行思考，比被动的解决问题兴趣更浓，更重要的是增加了很多学习的机会．”

课后研究者随机采访了两位学生，问这样的上课方式怎么样．学生们说：“这样的上课方式，我更有兴趣，更想学！”“这样的上课方式增加了我们与老师之间的交流互动．”

这次问题提出的教学对徐老师来说，虽然是一个良好的开端，但还有很大提升空间，徐老师继续反思教学不足和总结教学遗憾，她认为：“这是我教学生涯中的一个突破，我从没想过用这种方式教数学．需要努力的是自己的经验不够，上课也需要眼观六路，抓住重要机会，自然地追问，引发学生就重难点的问题进行讨论，甚至可以辩论”．

5 讨论

数学教育领域刚刚开始探索把问题提出作为一种教学方式．实践研究证明，使用数学问题提出进行教学比使用数学问题解决进行教学能更好地促进学生潜力发展．使用问题提出数学的优势也得到了广泛的认可．案例研究也表明，由于提出数学问题具有开放性，当学生试图提出问题的时候可以在知识和现实生活经验之间建立潜在联系，学生越来越多地参与提出问题的过程，激发了学生的思维，促进了学生对复杂数量关系的理解．

从情境视角研究徐老师使用问题提出进行教学的流程，不仅为徐老师学会使用问题提出进行教学设计提供了支撑，同时也提供了其对促进教师专业发展的证据．研究中徐老师在特定合作伙伴——蔡老师的强力支持下，克服了她在学习使用问题提出教数学时所面临的情感和教学方面的挑战．蔡老师在帮助徐老师设计和使用问题提出的教学过程中，给出了一些具有一定挑战性的问题．借助互联网，她可以及时与蔡老师讨论这些问题．蔡老师独到的观点和专业知识，能够帮助她用问题提出的方法解决她在教学中出现的问题．因此，徐老师的学习是在一个强有力的合作伙伴的帮助下完成的，从而改进了她的教学实践．

课堂是教师教学和学生学习的阵地．课堂教学改进是教师专业发展的主要机制．正如研究所显示的，课堂教学改进是一个循环的过程，而不是一次性事件，此个案研究不仅论证了设计研究对教学改进和提炼的适宜性，而且也展示了设计研究为教师提供学习方法的模式．在这项研究中，与蔡老师的合作促进了徐老师课堂教学的改进，此外，徐老师的同事观摩了她的课程，并与她讨论、向她反馈意见，也促进了徐老师周围同事教学的改进．在她与蔡老师以及她周围同事的支持下，徐老师能够学会用问题提出的方法来改进她的教学，并随着时间的推移不断进行调整．

注：本文的研究框架和方法是基于《国际教育研究》上的论文“Chen T, Cai J. An elementary mathematics teacher’s struggles to learn to teach using problem posing: a case of the distributive property of multiplication over addition. International Journal of Educational Research, 2019, 1-11. [2019-04-09]. https://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0883035518320299. DOI: 10.1016/j.ijer.2019.03.004.”完成的．

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An Elementary Mathematics Teacher’s Struggles to Learn to Teach Using Problem Posing: A Case of Using Letters to Represent More Complex Quantitative Relationships

CHEN Ting1, XU Hong2, XU Ran-ran3, ZHANG Ping3, CAI Jin-fa3, 4

(1. Research Centre for Basic Education, Southwest University, Chongqing 400715, China; 2. Xinjie Changshan Primary School, Zhejiang Hangzhou 311217, China; 3. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China; 4.Department of Mathematical Science, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

In this study, we described and analyzed how a mathematics teacher learned to teach using problem posing. The teacher taught two lessons on the same topic, one using problem posing and the other without. In this paper, we first analyzed the similarities and differences between the two lessons, followed by a discussion of the advantages of teaching using problem posing. Most importantly, we documented and analyzed the challenges encountered by the teacher in the process of designing and teaching the lesson using problem posing, the struggles she experienced in transitioning from a familiar pedagogy to a completely new approach, and the strategies she used to overcome those challenges. This study also demonstrated the importance of context-based teacher-researcher partnerships for teachers’ learning.

simple equation solving; mathematics teacher; problem posing; teacher learning; case study

2019–03–22

中国基础教育质量监测协同创新中心重点培育项目——西藏小学生数学学业质量监测（2018-06-020-BZPK01）；西南大学引进人才（教育部“长江学者”讲座教授）计划项目——数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究（SWU118118）；重庆市研究生科研创新项目——小学数学教师问题提出能力的实证研究（CYB: 18117）

陈婷（1974—），女，甘肃庄浪人，教授，博士，主要从事数学教育、基础教育研究．蔡金法为本文通讯作者．

G622

A

1004–9894（2019）02–0007–06

陈婷，徐红，徐冉冉，等．数学教师学习使用“问题提出”教学法的个案研究——以“用字母表示稍复杂的数量关系”为例[J]．数学教育学报，2019，28（2）：7-12．

[责任编校：陈隽、张楠]