小学数学教师“问题提出”表现研究

李欣莲宋乃庆陈 婷蔡金法



小学数学教师“问题提出”表现研究

李欣莲1，宋乃庆1，陈 婷2，蔡金法1，3

（1．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2．西南大学 教育学部，重庆 400715；3．特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

发展学生发现问题和提出问题的能力是中国基础教育阶段数学课程的重要目标之一，也有利于学生创新能力的提升．通过开展“问题提出”教学工作坊，公开征集、选拔教师学员，随机选择83名教师作为研究对象．设计两类问题提出测试题，从数量、恰当问题百分比、问题类型、难度分布、灵活性等方面考查教师的问题提出表现以及工作坊对教师问题提出的影响．研究表明，在现有问题提出课程资源缺乏的情形下，大多数小学教师能够提出恰当的数学问题，然而其提出的问题质量仍有待进一步提高；教师在第一类问题提出（已知数学表达式）上的表现弱于第二类问题提出（已知数学情境）；教师自身的问题提出表现与预测学生的问题提出表现之间正相关；对“问题提出”教学工作坊态度更加积极的教师进步更大．

问题提出；小学数学教师；“问题提出”教学工作坊

1 问题提出

近年来，问题提出的重要性越来越受到世界各国的关注和重视[1]．《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”作为总的课程目标[2]；《高中数学课程标准（2017年版）》也将“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”作为总的课程目标[3]．美国多个数学课程文件也有类似的相关表述[4-6]．诚如爱因斯坦所言，“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性、从新的角度去看旧的问题，却需有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”[7]．并且，问题提出在课堂教学中可以实现数学意义与实际情境的双向建构[8]．

然而，尽管问题提出的重要性在课程标准中已有体现，但相对于解决问题，提出问题鲜少在课堂中落实．发现问题、提出问题的能力与创新能力息息相关，这正是目前数学课程所着力达成的目标，也是中国学生比较欠缺的能力之一．在一项针对中美学生问题解决能力的比较中，中国学生在解决开放问题、使用策略的多样性上的表现弱于美国学[9]．可见，如何将问题提出融入日常教学，让学生获得问题提出的机会是问题的关键所在．

学生的学习机会大部分来源于课堂．教师作为课堂的组织者、引导者对学生的数学学习具有重要影响[10]．教师本身是否具有问题提出的能力是学生能否有机会参与问题提出活动的关键．如果教师本身对问题提出不重视，缺乏问题提出的活动经验，那么培养学生的问题提出能力则很难落实．因此，若期望教师能够为学生营造出新颖的、有挑战性的学习体验，前提是教师本人也有类似的经历[11]．故而，如果期望学生获得问题提出的机会，首先需要分析教师自身的问题提出能力，以此为基础再考虑如何帮助教师学会用问题提出开展教学．国际上已有一些研究对这一问题进行了探讨，如Crespo研究了职前教师的问题提出过程、变化、影响因素[12]；Leung等通过设计一组算术类问题提出测试题（TAPP），探讨了问题提出情境中是否含有明显的数量信息对职前小学数学教师问题提出表现的影响[13]．然而目前国内尚缺乏对这一问题进行探讨的研究．特别是，缺少对在职小学数学教师问题提出表现的研究．此外，基于数学表达式提出问题的研究也很少[12,14]．并且，已有研究较多关注教师自身的问题提出，较少关注教师预测学生的问题提出，而教师对学生的了解程度与教师能为学生提供的学习机会显著正相关[15]．因此，一项考查中国小学数学教师问题提出表现及其预测学生问题提出表现的研究亟需开展.

同时，教师作为课堂的组织者，学生学习的合作者、引领者，承担着落实课程目标的重任．因此，如何帮助教师在现有水平基础上，逐步学会如何将问题提出融入日常教学中，切实产生教学效果，则是学生在课堂中能否获得更多学习机会的关键所在．然而，目前数学教育领域对如何帮助教师成为更好的问题提出者以及如何帮助他们学会采用问题提出的方式开展教学知之甚少[16]．尽管如此，教师教育领域关于有效教师专业发展的丰富研究成果可供参考和借鉴．教师实现专业成长，更新已形成、固有的教学信念，转变已习惯的教学行为并不容易．因此，精心设计一项有效教师学习活动，帮助教师提升问题提出表现，学习如何运用问题提出于课堂教学中显得尤为重要．

研究聚焦于分析小学数学教师在不同类型问题提出测试题上的表现，以及预测学生问题提出的表现．在此基础上进一步分析，帮助教师学习利用“问题提出”进行教学的工作坊对教师的问题提出表现是否会产生积极影响．从而，一方面了解小学数学教师问题提出的现状和特点，另一方面，探寻提升教师问题提出表现的可能路径．具体而言，研究要回答的问题有：① 小学教师能否提出恰当的数学问题？ ② 教师自身问题提出与预测学生问题提出之间存在怎样的关联？③ 参加工作坊对教师的问题提出表现有怎样影响？

2 研究设计

2.1 核心概念界定

问题提出，指要求教师或者学生依据给定的情境或者数学表达式、图表提出问题，既包括已知情境提出问题和已知数学表达式、图表提出问题[17]．与问题解决任务不同，问题提出任务并不要求解答问题．特别地，问题提出作为教学活动的一部分，不同于师生在课堂对话中进行的提问，也不同于学生针对概念理解不清或其他不清楚之处而向教师提出的问题．此外，由于教师对学生的思维了解越多，为学生提供的学习机会也越多[18]．因此，问题提出包含两种成分： ①教师自己依据给定的情境或者数学表达式、图表提出问题；②教师根据给定的情境或者数学表达式、图表预测学生可能提出的问题.

2.2 研究对象

“问题提出”教学工作坊通过公开报名，征集小学数学教师．按照要求（所有测试数据均齐全）随机抽取其中83名教师作为研究样本．研究样本的选择过程为：首先，从参与的所有学员中随机抽取83名学员，发现这83名学员中有学员数据缺失，将其剔除后再从剩下的学员中再次随机选取，直至选够83名数据完整的教师学员为止．这83名样本的背景信息如表1所示．

表1 研究对象背景信息

2.3 “问题提出”教学工作坊简介

研究表明，对教师有帮助的专业成长活动一般具有5个特征：内容聚焦、基于学生的学习和思维、密切联系教学实践、建立学习共同体、持续性[19]．因此，设计的学习活动不能单是理论阐释，更需要有融入了理论的、与教师日常教学直接相关的教学主题．即不能仅从理论上对“问题提出”进行学习，更需要“问题提出”教学的相关内容主题、课例，如“分数”“方程”，等等．同时，设计的工作坊需充分考虑基于学生的学习和思维，不仅要求教师根据已有情境提出问题，同时要求他们预测学生可能提出的问题．在这样的情形下，问题提出可以作为帮助教师了解学生思维的手段．更进一步地，工作坊也应注意在学习活动中教师不仅仅向培训导师学习，也要向其他教师学习，在形成的学习小组内共同进步．此外，培训活动需要有一定的时间跨度．基于此，研究团队设计了“问题提出”教学工作坊，公开招募小学数学教师，旨在帮助他们提高在问题提出上的表现，逐步学会如何将“问题提出”融入课堂教学中，提升教学质量，产生教学效果．特别地，研究在利用“问题提出”教学工作坊过程中开展[17]．

第一期的工作坊主要由5项活动构成：第一项活动的主要内容为对问题提出作概述性介绍，包括报告问题提出的特征，问题提出的内涵，以及问题提出对促进学生数学理解的作用；第二项主要活动是让学员们根据给定的情境自己提出问题．发放给学员一组测试题要求他们根据要求提出问题，其中有些测试题要求提出的问题分别为简单题、中等难度题和难题；另一些测试题则要求学员尽量多地提出问题．一类测试题是给定情境，要求根据情境提出问题；另一类测试题是给定数学表达式，根据这一表达式编制情境提出问题，并且问题可以通过给定的数学表达式解答；第三项主要活动与上一个活动密切相关，给定测试题要求教师预测学生可能提出的问题．与要求教师自己提出问题类似，要求教师预测学生可能提出的问题测试题也有3种类型：明确规定了提出问题的难易程度；给定情境要求提出尽量多的问题；给定数学表达式提出能用该表达式解决的问题．工作坊的第四项主要活动为要求教师撰写“解简易方程”的教案．工作坊的最后一项主要活动是让教师讨论3个问题提出的课例以及完成和此次工作坊相关的问卷调查．

2.4 测试工具

研究以两类问题提出测试题为研究工具：一类为给定情境提出问题；另一类为给定数学表达式提出问题，共4个测试题．这4个测试题从要求上看又可以分为两类：一类为要求教师自己提出问题；另一类为预测学生提出问题．从不同的角度，较为丰富地分析教师在不同情境下问题提出的表现．这些测试题或选自前期的相关研究[20-21]或改编自中国小学数学教科书[22]．具体内容见表2．

表2 “问题提出”测试题

4个测试题构成有两种分类方式．按照问题提出的类型分，测试题1、2为已知数学表达式提出问题；测试题3、4为已知数学情境提出问题；按照要求教师提出问题还是教师预测学生提出问题分，测试题1、3为教师自己提出问题；测试题2、4为教师预测学生可能提出的问题．工作坊共持续了3天，测试题1于第一天上午施测，测试题2于第二天施测，测试题3、4于第三天施测．从教师自身提出问题以及教师预测学生提出问题两方面可较为全面地考查教师的问题提出表现，也为教师后期学会运用问题提出进行教学奠定基础．

2.5 编码方法及编码信度说明

对教师在两类问题提出测试题表现进行编码，借鉴了两个相关研究中的编码框架[20,23]．第一类测试题按照：总个数、错误问题个数、问题类型、问题情境类型、难度6个维度分别进行编码．其中，难度的赋值以所提问题求解的最少步骤计，若为一步题则难度值赋为1，以此类推．第二类测试题按照：总个数、错误问题个数、是否重复、问题类型、难度5个维度进行编码，其中难度的编码方式与第一类测试题相同．抽取一半的教师以两位评分者独立编码的方式检验编码的信度，两者各维度编码的一致性在90%以上（4个测试题的编码信度分别为90%、94%、91%、92%），信度良好．

他知道我们不明白，所以他就站起来得意洋洋地问我们。这时候萍萍也站起来了，她看上去生气了，她的脸色都有点泛白，她叫了一声：“林孟。”

在此基础上，为了进一步考查工作坊对教师问题提出表现的影响，根据被试在调查问卷第四题（两小问）：“参加工作坊前（后），你对‘问题提出’的熟悉程度”的不同回答，将教师分为乐于接受工作坊改变的积极组，以及对参与工作坊态度保守的消极组．具体操作为：首先将答案选项“完全不了解”“了解一点”“一般”“了解很多”“非常清楚”分别赋值为1、2、3、4、5．接着，用教师参加工作坊后的得分减去教师参加工作坊之前的得分，差值作为衡量教师对工作坊态度的数值．例如，某位教师前后两题的得分分别为2、4，则该位教师对工作坊的接受态度赋值为2．得分越高表示对工作坊的态度越积极，反之表明对工作坊的态度越消极．最后，将每位教师的得分按照从高到低排序，将被试分成4组：M1为得分0分及以下，共计12人；M2为得分1分，共计35人；M3为得分2分，共计30人；M4为得分3分及以上，共计6人．

3 研究结果

3.1 教师提出问题的总量及恰当问题的百分比

总体而言，多数小学数学教师均能提出问题，只是在不同问题提出测试类型的表现上存在差异，如表3所示．

表3 教师在各测试题上提出问题的总量及恰当问题的 百分比

由表3可知，小学数学教师在第一类问题提出测试题上的表现弱于第二类问题提出测试题，即相对于给定情境提出问题，给定数学表达式提出问题对教师的挑战更大．将教师在这两类测试题上提出的恰当数学问题个数进行差异性检验，结果表明两者在统计学上具有显著意义（=-16.562,<0.001）．

具体而言，教师在第一类问题提出测试上的表现为：测试题1有一位教师未能提出任何问题；有两位教师提出的问题全部错误．单个教师最多能提出6个问题．测试题2中，同样是有一位教师未能提出任何问题，并且有两位教师提出的问题全部错误．单名教师最多能提出6个问题．并且这6位教师之间没有出现交叉，也就是说虽然第一类问题提出测试题类型相同，但是教师在同一类型不同测试题上也会有不同的表现．

对于第二类问题提出，测试题3中，每位教师最少能够提出两个恰当数学问题．单个教师最多的问题提出数目为12，远多于第一类中的6．测试题4中，教师最少能提出4个恰当的数学问题，最多的一名教师提出了13个问题．可见，无论从整体数量还是单名教师问题提出的最大值和最小值来看，教师在给出情境提出问题测试题上都有更好的表现，而再结合教师所提恰当问题的百分比分析，这一结果则更为凸显：教师在第二类问题提出中，恰当数学问题的百分比高于第一类．此外，把在某些题项上表现较差的老师（不能提出问题或者提出问题为不可解答的数学问题）单独挑选出，分析他们在其他题项上的表现，发现教师在某一问题提出测试题上的表现并不能预测他在其他题项上的表现．

3.2 教师提出问题的类型

对教师在4个测试题中所提问题按照开放题和封闭题进行分类．开放题是指提出问题条件开放或者答案开放，无标准答案，培养学生发散思维的数学问题，如“为了让应聘者更好的选择，请你做一个建议表”；封闭题则指提出的问题条件和答案有确定要求的测试题，如“餐馆工作20小时，工钱是多少元？”[24]统计、分析教师提出的问题类型发现，无论第一类问题出还是第二类问题提出，教师所提问题大多数为封闭问题，其中测试题1和测试题2中全部为封闭问题，测试题3和测试题4出现了少量开放问题．如，“你会选择到哪个店打工，为什么？”这类问题与其他问题不同之处在于该问题的答案有一定的选择性，并且要求回答者阐明原因，提供回答者反思自己思考过程的机会，有更高的思维水平要求，但仅有6（6/414）个．又如，“如果最多开100公里就需要更换一个人，他们开完全程至少要换多少次？”这一问题改变了测试题条件，有多个答案．

可见，无论是给定数学表达式让教师提出问题，还是给定情境让教师提问，教师更加倾向于提出封闭性、常规性问题．而开放性问题对于培养学生的发散性思维、创造性思维具有重要作用，因此，教师的问题提出能力需要进一步的优化、提升，以使其能够提出更加高质量的数学问题．

3.3 教师提出问题的难度分布

为了进一步分析教师所提问题质量，研究以教师所提问题解答所需的常规步骤作为题目难度的表征．如测试题4中的一个问题：“佳佳开的公里数是小斌的多少倍？”该问题的难度赋值3．解答该问题的步骤为：首先根据小斌开的公里数求出沙沙开的公里数；再根据沙沙的公里数求出佳佳的公里数；最后求小斌、佳佳多开公里数的关系．通过这一方式对所有问题的难度进行编码，统计形成各测试题难度分布情况，详见表4．

表4 各测试题中教师所提问题难度分布

反观第二类问题提出，教师所提问题在各个难度值上均有不同程度的分布．测试题3中难度值在3及以下的问题几乎占到总体的一半；测试题4中难度值在3及以下的问题占到总体的一半多．由此可见，虽然大多数教师能够提出可解答的、恰当的数学问题，但是难度值较高，思维挑战度较大的问题占比较小．

3.4 教师提出问题的灵活性

优秀的教师会根据教学的需要，学生的不同层次提出不同难度水平的问题．因此，如果教师在测试题中提出问题难度的多样性越高，其在实际教学中根据需要提出贴切数学问题的可能性就越大．因此，研究在难度分布的基础上，进一步对每位教师提出问题所涵盖的不同难度种类进行统计，形成表5．

表5 各测试题中教师所提问题的不同难度种类分布

第一类问题提出不易形成多样化的难度分布，这类问题提出的多样性主要体现在教师所提问题的情境上．除纯数学问题外，教师最常选用的是工程、行程以及购物情境，其他选用的情境还有测量、家庭、学校情境等．第二类问题提出在难度值上则明显呈现多样化的特征．测试题3中，73%的教师能提出3种及以上难度种类的数学问题；测试题4中，97%的教师能提出3种及以上难度种类的数学问题．可见，小学数学教师在给定情境类问题提出上具有良好的灵活性．

3.5 教师预测学生提出问题与自身提出问题之间的关系

教师对学生的思维了解越多，那么他在教学中能为学生提供的学习机会也会越多．研究进一步分析了教师自身问题提出和预测学生问题提出之间存在的关系．研究设计中测试题1和测试题3为要求教师自己提出问题；测试题2和测试题4则为要求教师预测学生可能会提出的问题．以教师提出的恰当数学问题数量为指标，分别统计预测组测试题2、4中教师所提的恰当数学问题数量，以及教师自身提问测试题1、3中的恰当数学问题数量．将预测组数据和自身提问组数据导入统计分析软件进行相关性检验．结果显示，教师预测学生问题提出表现和自身问题提出表现之间具有显著正相关关系，相关系数=0.697（=83,<0.001）．说明教师预测学生问题提出的能力越强，其自身问题提出能力也越强，反之亦然．因此，发展教师的问题提出能力可以促进教师对学生的了解；通过对教师预测学生问题提出表现的考查也可间接了解教师自身的问题提出表现．

3.6 工作坊对教师问题提出表现的影响

根据教师在问卷上的不同回答，按照教师对工作坊态度变化，将教师分为4组：M1组教师对工作坊态度发生负向消极变化或无变化（前后差异“-3分”“-1分”“0分”），共计12人；M2、M3和M4组教师对工作坊态度发生正向积极变化（前后差异分别为“1分”“2分”“3分”“4分”），分别有35人、30人和6人．对以上4组教师在3天工作坊问题提出测试题上的表现进行跟踪对比分析．

第一天的测试，受工作坊影响较小，可以认为是四组教师原有水平的展现．负向消极教师（M1）提出的恰当数学问题数量的平均值低于正向积极组教师（M2，M3和M4），可见最初状态消极的教师拥有稍低的问题提出功底．随着工作坊的开展，第二、三天，正向积极教师，尤其是人数占多数的M2组和M3组教师提出的恰当数学问题数量的平均值都优于负向消极组教师．而正向积极态度变化最大的M4组教师提问数量在第三天优势消失（详见表6）．

更进一步地，为了较为全面地分析工作坊对教师问题提出表现的影响，除了考查两组教师所提出的恰当数学问题数量，也同时分析了两组教师在最高难度值及不同难度种类上的差异．从表6可知，无论是教师所提问题的最高难度值还是教师所提问题不同难度种类数，都是在培训开始的第一天消极组的表现更优，然而这一优势随着工作坊的开展而逐渐改变，人数占绝多数的M2和M3组的表现呈现优于负向消极组M1的趋势．而且从平均值的大小可以看出在培训结束时积极组的教师学员有微弱的优势，如果结合这3组教师最初的水平分析，可以认为对工作坊态度更加积极的教师通过3天的学习取得了更大的进步．究其原因，个体内在的信念将影响其外在行为，那些在态度上更愿意接受、学习新教学理念的教师也更愿意做出改变．同时，意愿最为积极的M4组虽然在“恰当地提问数量”“提问最高难度值”以及“提问不同难度种类数”方面产生正向的变化趋势，但是相比前3组，优势不明显，甚至低于负向消极组变化．这可能是样本量过小，无法代表这一组的准确情况所导致．

表6 对工作坊不同态度教师问题提出表现变化统计

从教师参加工作坊的时间纵向来看，无论是消极组的还是积极组的教师，他们从参加1天、2天到3天的工作坊之后，提出恰当问题的数量、问题的难度以及不同难度种类的问题数量都有增长．由此，可明显看出，工作坊对教师问题提出有积极影响的趋势．

4 研究结论及讨论

4.1 小学数学教师具有较好的问题提出表现

总体来看，大多数小学数学教师能够提出情境合理、有一定难度、题意清晰、可解决的数学问题，并且在问题提出的灵活性上表现较好．这与前期其他国家的同类研究结果一致[25-26]，并且有所拓展：关注到了教师在给定数学表达式时的问题提出表现．在目前中国问题提出课程资源并不充足的情况下[27]，中国教师仍有较高水平的问题提出表现，说明中国教师有将问题提出整合于课堂，进而给予学生更多学习机会的潜力．

相对而言，无论从数量还是质量上，教师在第一类问题提出的表现弱于第二类问题提出的表现，在第二类问题提出中所有教师至少能提出一个以上的正确的、可解答的数学问题．两类问题提出各有不同的教学效果．对于刚开始接触问题提出的对象可从第二类问题入手．并且教师要将此应用于教学也更容易．一个简单可行的做法为以教科书中的常规问题为基础，保留题干，隐去已有问题即可作为问题提出的测试题．如此不仅能保留原题提供的教学机会，还增加了新的教学机会．

4.2 预测学生问题提出表现与教师问题提出表现成正相关

教师在预测学生可能提出的数学问题上的表现与其自身提出数学问题的表现具有显著地正相关，即教师自身提出问题的能力愈强，其在预测学生可能提出的问题上的表现也越好，进而教师在课堂上能够为学生提供的学习机会也越多，反之亦然．因此，了解与提升教师的问题提出水平是实现促进学生获得问题提出能力的关键性、先行性工作．并且，可通过评估教师预测学生问题提出表现推断教师自身的问题提出表现．

4.3 教学工作坊有助于提升教师问题提出表现

虽然多数教师能提出正确的数学问题，然而教师的问题提出表现仍需进一步提升．一方面，从所提问题的难度分布来看，教师们提出的难度值较高问题的比例并不高；另一方面，教师所提问题中仍有一部分存在较多问题，如有的教师为了提出问题而提出问题，出现低水平的重复；有的教师提出不可解答的数学问题；有的教师所提问题与实际情形不符，等等．此外，教师所提问题几乎都为封闭性问题，较少提出开放性问题，或者要求作答者解释原因的测试题．因此，需要设计能够帮助教师提高问题质量的长期的学习活动．

通过追踪、对比对“问题提出”工作坊持不同态度的教师群体，在3天问题提出测试题上的表现（恰当数学问题的数量、最高难度值、不同难度种类数），发现积极组的教师取得了更大进步．两组教师差异性不显著的原因可能是，样本教师只参加了第一期工作坊，仅3天，时间较短，产生的积极效果有限．因此，可预测如果教师坚持学习，参加长期的“问题提出”工作坊，其在问题提出上的表现会逐步提高，尤其是那些对新的教学理念有更开放态度的教师将取得更大进步．

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Exploring Chinese Elementary School Mathematics Teachers’ Own Problem Posing and Their Predictions of Students’ Problem Posing

LI Xin-lian1, SONG Nai-qing1, CHEN Ting2, CAI Jin-fa1, 3

(1.School of Mathematics and Statistic, Southwest University, Chongqing 400715, China; 2. Department of Education, Southwest University, Chongqing 400715, China; 3. Department of Mathematical Science, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

This study investigated Chinese elementary mathematics teachers’ ability to pose problems as well as predict their students’ posed problems with respect to the number of problems posed, difficulty levels, and flexibility for two types of problem-posing tasks. The findings demonstrated that Chinese elementary school mathematics teachers were capable of posing solvable problems, with different types and levels of problems posed. Their ability to predict their students’ problem posing was positively correlated with their ability to pose problems on their own. This study was conducted in a workshop setting and showed the initial positive influence of the workshop on the teachers’ problem-posing abilities.

problem posing; elementary school mathematical teachers; teacher professional development; predicting students’ problem posing

2019–03–22

西南大学引进人才（教育部“长江学者”讲座教授）计划项目——数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究（SWU118118）；中央高校基金专项课题——中美高质量数学课堂教学比较研究（SWU118019）

李欣莲（1989—），女，四川雅安人，讲师，博士，主要从事数学课程与教学论研究．蔡金法为本文通讯作者．

G632

A

1004–9894（2019）02–0001–06

李欣莲，宋乃庆，陈婷，等．小学数学教师“问题提出”表现研究[J]．数学教育学报，2019，28（2）：1-6．

[责任编校：陈隽、张楠]