参数思想在解析几何中的应用

井炳怡

【摘要】数学解析几何问题一直是比较有难度的问题，但是可以用参数思想来解决。本文首先阐述了数学学科中参数思想的相关内容，然后从选取参数的一般原则、选取参数的一般方法、建立参数方程和具体例题分析这四方面思考参数思想在解析几何中的应用，希望对高中同学带来一定的启示，合理运用函数思想解决解析几何问题。

【关键词】参数思想;解析几何;参数方程

引言

解析几何是数学科目中的一项重点问题，一般会使用代数方法来解决，但是在解题时融入参数思想，就能够将代数与图形更好的结合起来，从而降低解析几何的难度，更加形象直观的分析几何问题。所以我们在对待几何问题的时候，可以适当地运用参数思想建立参数方程，从而化繁为简，总结规律，解决问题。下面就来谈一谈函数思想在解析几何中的应用问题。

1.参数思想

在近几年的中高考中，数学学科都注重培养学生的创新思维能力，这就需要我们运用一定的数学思想解决数学问题。参数思想是很重要的一种数学思想，其可以反应变量之间的关系。在分析解析几何问题时，可以把题干中的条件当做是变量，选择出参数，建立起参数方程，分析坐标x坐标Y之间的关系，运用这种思路进行解题的思想就叫做参数思想。在直角坐标系中，如果坐标x和y在一条曲线上，那么就可以列出这条曲线的方程：x=f（t）;y=g（t），而x和y就是参数t的函数，则通过方程带入的其他坐标点，应该都在这条曲线上，那么该方程就叫做x，y所在曲线的参数方程。

2.参数思想在解析几何中的应用

2.1 选取参数的一般原则

运用函数思想来解决解析问题的时候，首先就是要面临参数的选择问题，参数选择应该遵循一定的原则，要做出以下的思考。第一，曲线上的任意坐标是否可以通过某一参数方程而确定出来;第二，x与y之间的关系是否可以容易得出方程。在具体选择参数是一定要考虑题干中给出的条件，例如：线段长度、动点的坐标、旋转角等，为了更好地列出参数方程，可以选择两个或以上的参数，通过参数之间的关系，列出普通方程。但是还是应该采取少设方程的原则，以减低解题的麻烦程度。在具体解题有时，有时可能需要把参数方程转化为普通方程，这时可以使用消去参数的方法去操作。如果f（t）与g（t）为多项式时，适合使用代入消元法，如果二者是t的三角函数，则可以使用三角恒等式，在进行方程转换时，一定要注意保证方程变量取值的一致性。

2.2 选取参数的一般方法

在数学科目之中，轨迹方程、證明几何量的关系和曲线问题等题目通常可以应用参数思想进行分析，一般我们在解题时，会认为选择参数与消除参数是较难的地方。对于这样的问题，应该对做相关的习题，掌握选参与消参的规律性方法，从而提升自己的解题能力。为了在题目中建立出正确的参数方程，可以选择截距、角度等条件作为参数，但是一定要参照图形特点进行选择。这里给大家有几种常用的引参方式，比如比例参数、角参数、截距参数、点参数等，我们可以进行推理运算，从题目中创建出目标变量和参数间的关系，之后消除区参数，进行计算，从而得到结果，但是在计算过程中应该注意参数范围问题。

2.3 建立参数方程

在应用函数思想解决解析几何问题的时候，建立参数方程是至关重要的一步，其直接影响解题环节的正确与否。一般普通方程是反应x和Y之间的关系，而参数方程则是借助参数去反映二者之间的关系，这种关系是间接的。以曲线方程为例，在曲线普通方程之中基本会有两个变量，而曲线的参数方程之中，会多出一个变数和方程，但是在进行解题时依然可以将其当做普通方程一样进行思考。如果可以从题干中列出参数方程，则可以通过消参将其转化为普通方程，如果列出普通方程，可以选择一定的参数，将其转化为参数方程。参数方程与普通方程都能够表达关系，二者只是形式不同而已。在求曲线方程的时候，可以通过以下步骤进行解题，第一，可以根据题干建立出坐标系，然后选择随意的一点坐标，用x和Y表示;第二，依据已知条件进行参数的选择;第三，引用参数，分析变量间的关系建立出相关表达式;第四，将取曲线用参数方程表示，得到最终答案。在数学试题中，通常参数方程还有双曲线、抛物线、圆等多种常见的表示方式，但是建立方程的时候，分析思路都是相近的，都可以按照以上步骤进行解题。

2.4 具体例题分析

这里举出一个简单的例题，来具体分析一下如何利用参数思想解决解析几何问题。以轨迹问题为例，有两条垂直的直线分别与抛物线zy=x相交，相交的两点用M，N表示，求线段M，N中点的轨迹方程。这道题就可以先设出k，并假设k不为0，因为M和N都在这一条曲线上，那么就可以列出L_OM为y=kx，L_ON为y=-1/kx，之后将这两个方程进行联立，得到M（k，k²），用同样的方法求得N（-1/k，1/k²），这时M， N两点的坐标就得出了，再设M， N中点为Z（x，y），就可以列出这样的方程：，最后再消去k，得到最终的方程为y=2x²+1，这就是线段M，N中点的轨迹方程。

结语

综上所述，为了更好的解决解析几何等相关问题，我们需要应用参数思想，一定要注意选取参数的原则和方法，将其与代数结合起来，通过已知条件建立出相关参数方程，从而解决题目。以上就是本人通过学习和研究，总结出的对于解析几何中运用参数问题的思考，希望可以为其他同学带来帮助。

【参考文献】

[1]佟雅楠.探析数形结合思想在高中数学解题中的有效应用[J].课程教育研究，2017（07）：155-156