一道中考试题的解答及另一解法的完善

邓波

【摘要】本文对一道教师专业能力测试题先给出了自己的解答，然后指出网上给出的答案的缺陷，并弥补了这个缺陷.完善后，后一种解法更具有一般性.

【关键词】抛物线;垂直;存在;理由;缺陷

2017年12月份，我参加了织金县教师专业能力数学学科的考试，其中有这样一个题：

如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（-1，-1），与x轴交点M（1，0）.C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（-1，0）.

（1）求抛物线的解析式;

（2）求直线AC的解析式及B点坐标;

（3）过点B作x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，-2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由.

下面只对第三个提问进行讨论.

第一问已求得抛物线的解析式是y=14（x+1）2-1=14x2+12x-34，

第二问已求得直线AC的解析式y=-x-2，B点的坐标是（-5，3）.

可以求得E点的坐标是（-5，-2）.

我们的想法是要说明：P点是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？

仅当∠BEF≤90°，P点在射线EF上（包括端点E）;仅当-5+（-1）2∠BFE≤90°，则P点在射线FE上（包括端点F）.因此，要说明P点在边EF上，当且仅当∠BEF≤90°和∠BFE≤90°同时成立.为了判断∠BEF和∠BFE的大小，需要先求出三边BE，BF和EF的长度.E，F的坐标分别是（-5，-2），（-1，0），BE=[-5-（-5）]2+[3-（-2）]2=5，BF=[-5-（-1）]2+（3-0）2=5，EF=[-5-（-1）]2+（-2-0）2=16+4=25，因此，BE=BF.根据等腰三角形底边上中线、底边上的高、顶角平分线三线合一，可知BP⊥EF当且仅当P是EF的中点.故P点是存在的.由中点公式得x=-5+（-1）2=-3，y=-2+02=-1，所以P点的坐标是（-3，-1）.

下来后用手机“作业帮”搜此题，网上给出了如下答案.再后来，在网上百度，也搜出了此题，此题是2014年毕节市中考试题压轴题，答案也是下面这个.

网上给出的答案是这样的：

过点B作BP⊥EF于点P，由题意可得出：E（-5，-2），设直线EF的解析式为y=dx+c，则联立解方程组-d+c=0，-5d+c=-2， 解得c=12，d=12.直线EF的解析式为y=12x+12.

因为BP⊥EF，所以设直线BP的解析式为：y=-2x+e（互相垂直的两直线，斜率互为负倒数），常数e待求.

将B（-5，3）代入得3=2×（-5）+e，解得e=-7，直线BP的解析式为y=-2x-7.联立解方程组y=-2x-7，y=12x+12， 解得x=-3，y=-1，所以P（-3，-1）.故存在P点使得BP⊥EF，此时P点的坐标是（-3，-1）.

但仔细一想，后一种解法只能说明直线BP和直线EF有交点，且互相垂直，交点、垂足P点一定在直线EF上，但缺少说明P点在线段EF上这一环节，逻辑上明显存在缺陷.

再一想，我们能够弥补这一缺陷.因为线段EF的两个端点E（-5，-2），F（-1，0）的横坐标分别是-5，-1，于是线段EF上的点的横坐标必然∈[-5，-1];反之亦然，即直线EF上的点的横坐标∈[-5，-1]，则该点一定在线段（边）EF上.因為已求得BP⊥EF的垂足P点的坐标是（-3，-1），P点在EF上，而-3∈[-5，-1]，因此，P点一定在线段（边）EF上.

其实第二种解法更具有一般性，是一种较好的通法.

另外，此题还可以用直线的参数方程结合向量来作答.