“鸡兔同笼问题”的解决方案初探

刘锦霞 李玉娇

对鸡兔同笼问题，学生的解决方案有多种.

一是算术方法.包括：尝试、调整.穷举、列表.假设、推理.在五年级学生的具体操作中列表法、尝试法有这样的几种方法：

方法1：根据鸡和兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔有19只，腿共有78条.在这样的逐一举例中，直至寻求到所求的答案.

头/个鸡/只兔/只腿/条

2011978

2021876

2031774

2041672

…………

2013754

方法2：先做一些分析，比较后再试.

头/个鸡/只兔/只腿/条

2011978

2051570

20101060

2015550

2014652

2013754

方法3：先假设鸡和兔各占一半，再列表.

头/个鸡/只兔/只腿/条

20101060

2012856

2013754

60>54，说明兔子多了，应减少兔子数.

分析这几种解决问题的策略：

上面三种方法中，第一张表格是常规的逐一列举法，即根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条;假设鸡有2只，那么兔就有18只，腿共有76条，在这样的逐一举例中，直至找到所求的答案.经过课堂调查此种方法被我们班上31名学生所采用，看样子这种方法是能被大多数学生所理解的一种方法.第二张表格是估计鸡与兔数量的可能范围，以减少举例的次数.第三张表格是采用取中列举的方法，由于鸡和兔共20只，所以各取10只，接着在举例中根据实际数据的情况确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围.“尝试、调整”和“穷举、列表”这两种方法，都是数学中的通法.而从认知上看，也是学生容易掌握的方法.

学生采用的假设推理法有下面几种：

方法1：

假设这20只全部是兔子，那么就应该有80条腿，而题目只告诉我们有54条腿，我们算的80与实际相比多算了26条腿，这是为什么呢？因为一只鸡是两条腿，而我们把它当成四条腿算了，如果用一只鸡来换一只兔，就要减少2条腿，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然26÷2=13（只），所以鸡有13只，兔子有7只.可以列式为：（20×4-54）÷（4-2）=13（只），20-13=7（只）.

方法2：

假设这20只全部是鸡，那么就应该有40条腿，比实际少了14条腿，是因为每只兔子少算了2条腿，这样共有兔子是7只，鸡则是13只.列式如下：（54-20×2）÷（4-2）=7（只），20-7=13（只）.

方法3：

把一只鸡和一只兔看作一个整体，一个整体中就有（4+2=6）条腿，54条腿应该是几个这样的整体呢？54÷6=9（个），在9个这样的整体里兔子的只数应该不是9只，因为9只兔和11只鸡的腿的条数超过了总条数54.那么就把兔看成8只，还是偏大，最后把兔的只数看成7只，鸡是13只，腿的总条数就正好是54了.列式为：4+2=6（只），54÷6=9（个），9-1=8（只），9-2=7（只），20-7=13（只），7×4=28（条），13×2=26（条）28+26=54（条）

方法4：

此方法是：假设每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来.显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是27，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等的，兔子的脚数是兔子的头数的2倍.所以，从27中减去总的头数20得7，就是兔子的头数.当然，20-7=13，鸡就是13只了.

分析这几种解决问题的策略：

解決鸡兔同笼问题通常使用假设法，可以假设所有的动物都是兔子，并求出在假设情况下的总腿数，再把实际的腿数和假设情况下的腿数相比较，看看多出了多少，每多2只腿说明有一只鸡，将多出的腿数除以2就算出共有多少只鸡.也可以假设全部是兔子来解.但这种“假设法”理解起来并不容易，对会使用此做法的学生在课堂上教师要进行鼓励，对理解不透的也进行了灵活机动的处理，课后可向教师请教，也可和其他同学商讨，在课堂上不做统一要求.

二是代数方法.

分析问题中的量，确定等量关系，设未知数，列方程，求解.学生具体解决策略有：

解法1：设其中有x只兔，有y只鸡.列式为：x+y=20，4x+2y=54.

最后算出x=7，y=13.

解法2：设其中有x只兔，有（20-x）只鸡.列式为：2x+4×（20-x）=54，最后算出x=7，得出兔的只数是7只，那么20-x=13就是鸡的只数.

分析这几种解决问题的策略：

这种列方程的代数方法，体现的是分析规律、表示规律、解决问题.对学习者的综合应用能力和抽象思维能力有一定要求.这种方法可当作是课堂上的一种思维火花，要好好呵护，但不可强行全面推行.

三是几何作图方法，有如下几种：

方法1：先画20个圆圈表示20个头.再为每个动物画两条腿，20只动物只用完40条腿，还多出了14条腿.把剩下的14条腿用完，要给其中的7只动物加2条腿，这7只就是兔子，另外的13只就是鸡.

方法2：先画20个头，接着假设全部是兔，共画80条腿，多出了26条腿，要给其中的13只动物去掉2条腿，这13只就是鸡，另外的7只就是兔了.

分析这几种解决问题的策略：

此种作图法，只有几名学生想到，但此法在班上进行展示后，得到了不少同学的喜爱，主要是因为它能直观形象地展示出解题方案.

从课堂教学情况看，“尝试、调整”和“穷举、列表”方法，比较适用于一般的学生.代数方法，体现的是分析规律、表示规律、解决问题，对学习者的综合应用能力和抽象思维能力有一定要求，在课堂上不做统一要求，但是学优生能想得出来，并呈现出多样的思维，教师又要进行鼓励和表扬，真正体现出：数学课堂上不同的人有不同的发展，不同的人学有不同的数学.