Taylor定理及其应用的几个问题
2019-05-08张睿
张睿
【摘要】在高等数学中，Taylor定理是处理和研究一些数学问题的有力工具.本文在已有文献的基础上，对该定理的应用再进行研究，阐述了Taylor定理并给出了Taylor定理在求极限、不等式证明、中值等式、“函数归零”问题等方面的应用，通过一些实例中的方法和技巧更深刻地理解如何灵活运用Taylor定理.
【关键词】Taylor定理;极限;不等式证明;应用
多项式函数是最为简单的一类函数，它具有非常好的数学性质，容易进行算术运算和求出其函数值.因而，多项式函数常被用于近似地表达其他函数，这种近似表达在数学上常称为逼[1，2].著名的英国数学家B.Taylor（泰勒）在这方面取得了不朽的贡献.其研究结果表明：具有直到n+1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以由函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n次多项式近似表达.由此产生了泰勒定理，即带有Lagrange（拉格朗日）型余项的泰勒公式，带有Peano（佩亚诺）型余项的泰勒公式，它是高等数学中微分学中非常重要的内容，在理论上和应用上均是十分重要的[1-5].本文阐述了Taylor定理，给出了Taylor定理在求极限、不等式证明、中值等式、“函数归零”问题及其他方面的应用，通过一些实例中的方法和技巧更深刻地理解如何灵活运用Taylor定理.
一、Taylor定理概述
定理1 （带有Peano型余项的泰勒公式）若函数f（x）在点x0存在直至n阶导数，则有
f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+ο（（x-x0）n）.
特别地，当x0=0时，f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+ο（xn）.
它也称为带（Peano型余项）麦克劳林（Maclaurin）公式.
定理2 （带有Lagrange型余项的泰勒公式）若函数f（x）在[a，b]上存在直至n阶连续导函数，在（a，b）内存在n+1阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈（a，b），使得
f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1.
特别地，当x0=0时，
f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+f（n+1）（θx）（n+1）！xn+1，θ∈（0，1）.
该公式也称为带（Lagrange型余项的）麦克劳林公式.
注1 能将函数、一阶导数、二阶导数全部联系在一起的数学工具唯有泰勒公式.当函数f（x）满足定理1条件时，满足泰勒公式的n次逼近多项式是唯一的.运用定理1和2，可以在x0=0附近将某些常用函数展开，利用这些函数展开式可以间接的将一些复合函数泰勒展开.
二、Taylor定理的应用
（一）求极限
例1 求极限 limx→0x22+1-1+x2（cosx-ex2）sin（x2）.
解 由于1+x2=1+x22-x42·4+ο（x4），sin（x2）～x2，
cosx=1-x22！+x44！+ο（x4），ex2=1+x2+x42！+ο（x4）.
故 limx→0x22+1-1+x2（cosx-ex2）sin（x2）=limx→0x48+ο（x4）-3x42+ο（x4）=-112.
例2 设函数f（x）在点x0处有n+1阶导数，且f（n+1）（x0）≠0，f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+h22！f″（x0）+…+hnn！f（n）（x0+θh），θ∈（0，1），求 limh→0θ.
解 由于函数f（x）在点x0处有n+1阶导数，故
f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+h22！f″（x0）+…+hn+1（n+1）！f（n+1）（x0）+ο（hn+1），
与已知式子比较得
hnn！f（n）（x0+θh）=hnn！f（n）（x0）+hn+1（n+1）！f（n+1）（x0）+ο（hn+1），
即f（n）（x0+θh）-f（n）（x0）h=1n+1f（n+1）（x0）+ο（1）.
令h→0，對上式两端取极限，得
limh→0θf（n+1）（x0）=1n+1f（n+1）（x0）.
因为f（n+1）（x0）≠0，所以 limh→0θ=1n+1.
注2 Taylor定理是一个非常重要和有用的定理，利用它常常可以用来求一些“不定型”的极限.这里，除了一些其他技巧外，主要是依据分母的“无穷小量”的“阶数”，而相应将分子的函数亦作“相同阶数”的Taylor多项式展开.当然需要知道一些函数的带Peano型余项的Taylor公式.为了计算方便，有时需要用到等价无穷小代换.
（二）论证“函数归零”问题
例3 已知函数f（x）在（-1，1）内有二阶导数，且f（0）=f′（0）=0，|f″（x）|≤|f（x）|+|f′（x）|.（1）
证明存在δ>0，使得在（-δ，δ）内f（x）≡0.
证明 把（1）式右边的f（x），f′（x）在x=0处进行泰勒展开，得
f（x）=12f″（ξ）x2，f′（x）=12f″（η）x，
其中ξ，η在0与x之间.
下面不妨限制x∈-14，14，由题意可知|f（x）|+|f′（x）|在-14，14上连续且取得最大值，即存在x0∈-14，14，使得|f（x0）|+|f′（x0）|=maxx∈-14，14{|f（x）|+|f′（x）|}=M.
又由M=|f（x0）|+|f′（x0）|=12f″（ξ0）x20+|f″（η0）x0|≤14（|f″（ξ0）|+|f″（η0）|）≤14（|f′（ξ0））+|f（ξ0）|+|f（η0）|+|f′（η0）|）≤14·2M=12M，
故M=0，因此当x∈-14，14时，f（x）≡0.
（三）论证涉及抽象函数的不等式
例4 设f（x）在[a，b]上二阶可导，f′（a）=f′（b）=0.证明：存在ξ∈（a，b），使得|f″（ξ）|≥4（b-a）2|f（b）-f（a）|.
证明 由fa+b2分别在a，b处进行泰勒展开可知
fa+b2=f（a）+f′（a）b-a2+f″（ξ1）2b-a22，
ξ1∈a，a+b2，
fa+b2=f（b）+f′（b）a-b2+f″（ξ2）2a-b22，
ξ2∈a+b2，b，
两式相减，注意到f′（a）=f′（b）=0，整理得
2a-b2|f（b）-f（a）|=f″（ξ2）-f″（ξ1）2
≤|f″（ξ2）|+|f″（ξ1）|2≤f″（ξ），
其中ξ=ξ1，当|f″（ξ1）|≥|f″（ξ2）|，ξ1，当|f″（ξ1）|≤|f″（ξ2）|.
注3 函数的带Lagrange型余项的Taylor公式，是证明某些函数不定式的有效方法.泰勒展开有两个要点：一是要进行展开的特殊点的选取;二是要在哪个特殊点进行展开.通常，“特殊点”可以是一阶导数值的点、区间端点、最值点、中间点、平均值点等，根据给定条件和论证结果确定.
（四）证明涉及具体函数的不等式
例5 证明tanxx>xsinx，x∈0，π2.
证明 令f（x）=sinxtanx-x2.注意到f（0）=f′（0）=f″（0）=0，且
f（x）=（sin3x+5sinx）sec2x-sinx>0，由x∈0，π2可知，f（x）>0，即结论成立.
注4 用泰勒公式证明涉及具体函数的不等式时，可直接运用下述重要原理：若f（x）在[a，b]上有连续的n阶导数，且f′（a）=f″（a）=…=f（n-1）（a）=0，f（n）（a）>0（x∈（a，b）），则当x∈（a，b）时，f（x）=f（n）（ξ）n！（x-a）n>0.
（五）证明涉及中值的等式
例6 设f（x）在[-1，1]上有三阶连续导数，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0，则存在一点ξ∈（-1，1），使得f（ξ）=3.
证明 对任意x∈[-1，1]，由泰勒公式可得
f（x）=f（0）+xf′（0）+x22！f″（0）+x33！f（η），
其中η在0與x之间，得
0=f（-1）=f（0）+12f″（0）-16f（η1），η1∈（-1，0），
1=f（1）=f（0）+12f″（0）+16f（η2），η2∈（0，1），
进而可知f（η1）+f（η2）=6.
由于f（x）在（〗-1，1]上连续，故f（x）在[η1，η2]上有最大值M，最小值m，使
m≤12[f（η1）+f（η2）]≤M.
由连续函数介值定理可知，存在ξ∈[η1，η2]（-1，1），使得
f（ξ）=12[f（η1）+f（η2）]=3.
（六）其他方面的应用
例7 设f（x）在x0处有n阶导数，且f（k）（x0）=0，（k=1，2，...，n-1）f（n）（x0）≠0.
证明 当n为偶数时，x0是极值点.若f（n）（x0）>0，x0是极小值点;若f（n）（x0）<0，x0是极大值点.
证设x为点x0的邻域内任意一点，有Taylor公式
f（x）=f（x0）+f（n）（x0）n！（x-x0）n+ο（（x-x0）n），
得f（x）-f（x0）（x-x0）n=f（n）（x0）n！+ο（1），
即当|x-x0|充分小时，f（x）-f（x0）（x-x0）n与f（n）（x0）同号.于是，当n为偶数且f（n）（x0）>0时，有f（x）>f（x0）（x≠x0），故x0是极小值点;当n为偶数且f（n）（x0）<0时，有f（x） 注5 Taylor定理可以深入地探索函数的极值点问题.Taylor定理是研究一个函数在一点的“局部性质”，也就是说成为研究此函数在一点的邻域内如何用一个多项式（具有“n阶”的多项式）来“代替”的有力工具.该定理中函数的多项式展开后的“误差”，即Peano余项是一个定性估计. 例8 證明数e是无理数. 证明 由ex=1+x+x22！+…+xnn！+eθx（n+1）！xn+1，θ∈（0，1），可知 e=1+1+12！+…+1n！+eθ（n+1）！， 因此n！e-n！1+1+12！+…+1n！=eθn+1.（2） 用反证法.假设e=pq（p，q∈N+）为有理数，则当n>q时，n！e为正整数，于是式（2）左边为正整数，而0 例9 函数f（x）=x2ln（1+x）在x=0处的n阶导数f（n）（0）（n≥3）. 解 由麦克劳林公式（x=0处的泰勒展开式） f（x）=f（0）+xf′（0）+x22！f″（0）+…+xnn！f（n）（0）+… 及x2ln（1+x）=x2x-x22+x33-…+（-1）n-1xn-2n-2+…=x3-x42+…+（-1）n-1xnn-2+… 比较xn的系数得f（n）（0）n！=（-1）n-1n-2， 所以f（n）（0）n！=（-1）n-1n！n-2. 泰勒公式的应用还有许多方面，如判断级数的敛散性、求行列式的值等问题也都可以用到泰勒公式，本文主要介绍了泰勒公式的一些常见的应用技巧，对怎样运用泰勒公式解题有了更深一层的理解，遇到不同类的问题，只要仔细分析，结合题设的条件及其形式特点，把握好处理原则，就能灵活运用泰勒公式解决问题. 【参考文献】 [1]华东师范大学数学系.数学分析·上册（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程·1卷：第1分册[M].杨弢亮，叶彦谦，译.北京：人民教育出版社，1956. [3]苗文静，王昕.关于泰勒公式及其应用的思考与讨论[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013（5）：18-21. [4]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2003（z1）：23-25. [5]潘劲松.泰勒公式的证明及应用[J].廊坊师范学院学报：自然科学版，2010（2）：16-17.
