探究不定积分的计算方法

丁倩倩

【摘要】本文通过对不定积分的研究，提出了求几种计算不定积分的新方法.在知道一个函数的微分或者导数的情况下，将这个函数“复原”出来，对不定积分的教学有着一定的启发作用，通过不定积分教学过程中的研究和学习，现总结几种不定积分的教学计算方法.

【关键词】不定积分;导数;微分

【基金资助】国家自然科学基金项目资助项目（11761023），贵州省普通高等学校科技拔尖人才支持计划（黔教合KY字[2017]81）.

一、引 言

众所周知，高等数学的学习对理工专业的学生来说有着极其重要的作用，因此，高等数学教学的研究非常重要.而互为逆运算的微分学与积分学是高等数学的重要内容.不定积分的计算在理工类专业中的应用十分广泛，因此，掌握不定积分的计算方法，对学生的学习具有重要作用，原函数与不定积分的关系和定义告诉我们，在熟练掌握微分公式的情况下，应当充分关注“被积函数f（x）是由哪个函数得来的”这一基本事实.我们在教学时就告诉学生：求不定积分的过程，就是用函数求导的结果去寻找原来的函数.而积分学的教学通常是在我们讲授微分学的基础上继续授课，因此，并且通过微分学的知识储备，我们对不定积分的计算方法予以研究，并且通过对不定积分的深度研究学习，总结了以下几种情况下的学习心得并举例说明.

二、不定积分的计算方法

当连续函数的原函数均为初等函数时，可用以上四种方法求解.有理函数的原函数也是初等函数，那么在学习和授课过程中，我们是如何求出其不定积分的呢？下面就以例2为例，说明有理函数的积分计算方法.

（五）有理函数的积分

解（二） 记I=∫x-1x2-2x+2dx=∫x-1（x-1）2+1dx，令x-1=t，则I=∫tt2+1dt=12ln（1+t2）+C=12ln（x2-2x+2）+C.

由此，可总结出当求有理函数的原函数时，首先，应该将假分式化为整式加真分式，其次，对真分式的分母因式分解，则不定积分即可求出，对比解（一）和解（二）的解法可以看出，按照有理函数的求解不定积分的计算方法十分复杂，因此，做有理函数积分的求解时，应优先考虑方法（一）-（四）.那么求解含有三角函数的有理式R（sinx，cosx）的积分时，我们是否可以通过转化为有理式来进行积分呢？可用的方法有万能公式法，主要针对被积函数含有sin2x，cos2x，sinxcosx这三種形式下的有理式，令tanx=t即可直接转化为有理函数的积分，其他情况下，则仍需首先考虑方法（一）-（四）.

（六）可化为有理函数的积分

例5 ∫sinxcosx1+sin2xdx=12∫d（sin2x）1+sin2x=12ln（1+sin2x）+C.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010（6）.