以课例研究为抓手强化师范生综合实践能力

2019-05-08周昱

数学学习与研究 2019年6期

周昱

【摘要】以“分数的产生”为突破口，让学生在度量、分物和计算等真实可感的情境中走进分数的世界，既是创设问题情境的需要，也是社会生产实践中的广泛应用助推“数概念”扩充之必需;接着在丰富分数含义的基础上拓展单位“1”的内涵，逐步建构分数单位;紧接着分别从分母、分子的含义、累加、度量等维度系统规范呈现分数的形成;最后揭示“部分与整体”的关系，为后续解读“分数与除法”奠定重要基础.

【关键词】平均分;单位“1”;分数单位;分数意义

【基金项目】湖南省普通高校教学改革研究项目.

【教学内容】

人教版小学数学五年级下册教材第四单元“分数的意义和性质”45～46页.（第1课时）

【教材分析】

产生背景.“分数”一词大家耳熟能详，但其渊源和发展较为复杂且鲜有所闻.人类历史上最早产生的数是自然数，但在度量、分物、计算等均分过程中，往往不能恰好获得整数的结果，由此便产生了一种新的数——分数.因此，从整数到分数是“数概念”的一次扩充.

分数定义.分数该怎样定义呢？虽众说纷纭，但较为集中的认为有张奠宙教授概括的如下四种：一是份数的定义：把一个“整体”平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示.二是商的定义：两个整数相除的商（除数不能为0）;三是比的定义：分数是整数q与整数p（p≠0）的比;四是公理化定义：分数就是有序的整数对（p，q），其中p≠0.另外，也有张丹教授基于“比”和“数”两个维度、分别从“度量”“比率”“运作”“商”四个方面对分数展开的研究成果.总之，分数的内涵复杂、意义丰富.

教材编排.分数既是小学数学的核心概念，也是小学生数学学习的一个难点，还是广大小学数学教师特别关注的教学内容之一.人教版小学数学教材编排设计：首先，在三年级上册安排“分数的初步认识”学习单元，让学生借助动手操作，初步认识了分数，了解了分数的各部分名称、读法写法，知道把一个图形、一个物体、一个计量单位平均分成若干份，取这样的一份或几份，可以用分数来表示;其次，在五年级下册第二单元学习“因数和倍数”，让学生掌握2，3，5倍数的特征;接着，在同册第四单元安排了“分数的意义和性质”，是学生系统学习分数的起始，由感性认识上升到理性认识的跨越，从分数的产生、分数的意义、分数与除法的关系等维度，比较完整地建构分数的概念;最后同册第五单元安排了“分数的加减法”、六年级上册第二、第三单元分别安排了“分数乘法”“分数除法”等内容.综上，本单元处于承上启下的核心地位，为后续相关内容的学习奠定着重要的基础.

教学思考.结合上述分析、充分考虑分数的知识结构与学生的认知规律，本节课教学思考如下：首先沿着分数产生、形成的轨迹——度量和均分，初步感知分数的意义，既有利于把握教材的编排体例、设计意图，又符合学生的认知规律、有利于学生充分把握分数意义的内涵实质;其次联系实际设计一些案例，基于整数叠加单位“1”均分分数逻辑关系，变换演绎单位“1”的不同含义：把一个图形、一个物体、一个计量单位视为一个整体呈现单位“1”;把许多图形、许多物体视为一个整体呈现单位“1”;把多组物体视为一个整体呈现单位“1”，着力引导学生不断体会、感悟、内化分数的意义.同时，突出“平均分”，理解分数单位，借此顺应“度量”的本质（被度量的事物包含多少个标准单位），将分数理解为分数单位的累积.

【学情分析】

五年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段;同时，分数的内涵多元多维、分数的概念复杂抽象、分数的意义异常丰富，学生的数学学习存在较大的难度.为贯彻落实“学生为主体”的教学理念，设计采用动手实践、自主探索、合作交流等多种学习方式帮助学生进行思考，让他们不断地感知、感悟、内化分数的意义;为突出学生的生命成长，充分顺应学生的视角，采用图形、文字、符号等多元表征方式，进行数学表达，从关系逻辑、演绎逻辑的多维视角，突出训练学生思维品质的深刻性.总之，力争让学生有足够的时间和空间经历观察、推理、验证、抽象、概括等活动过程，积累数学活动的基本经验.

【教学目标】

1.在初步认识分数的基础上，进一步理解分数的意义及单位“1”的含义.

2.通過操作明白分数的产生并在分数的形成过程中理解分数单位和分数意义;借此过程积累数学活动基本经验，提高迁移类推、有序思考、抽象概括能力.

3.联系现实生活实际设计教学环节，了解数学与生活的联系，激发数学学习兴趣.

【重点难点】

1.教学重点：理解分数的意义.

2.教学难点：理解分数的形成过程.

【教学准备】

米尺、长方形、正方形、圆形图片;神秘信封;多媒体课件.

【教学过程】

（一）创设情境直观感知分数

1.产生背景：从单维到多元、从孤立到聚合、从份数到量比、从简单到复杂，直至数理逻辑水平上的感知、表象、抽象和概括.从现实来源上说：分数源于度量或均分;从数学内部而言：分数就是整数除法的延伸，分数的产生就是从“整数”到“分数”的一次“数概念”重要扩展.

课件呈现：依次呈现教材上的度量、均分、计算的情境;

（1）度量：呈现教材度量物体长度的图片.

师：古代人在干什么？

生：他们用打结的绳子度量一个物体的长度.

师：结果怎么样？

生：度量结果3段有余、4段不足，不能用一个整数来表示.

师：3和4就是两个相邻的整数，在它们之间再也没有其他整数了.（停顿）为精确地表示该物体的长度，关键就是要解决这“剩余部分”的长度，这个“剩余部分”的长度又不能用整数表示，怎么办呢？此时就迫切需要引进一个新的数——分数.

（2）分物：呈现教材均分物品的图片.

师：1个西红柿平均分给2个小朋友，每人得多少？

生：半个.

师：数学表示.

生：12个.

师：一个蛋糕平均分给两位小朋友，每人得多少？

生：12个.

师：像12这样的数就叫作分数.

（3）计算：沟通分数与除法的关系;

师：通过前面的学习，我们初步认识了分数，谁能告诉老师“分数与除法”之间有一个重要的相同点是什么？

生：平均分.

师：对！有一个爱思考的脑袋就是管用——可以透过现象，直击本质.

师：平均分就是我们二年级学习整数除法时，讲过的重要概念.例如，2个西红柿平均分给2名同学，每人分得1个;1个西红柿平均分给2名同学，每人分得半个，半个——数学上就用分数“12”来表示，即：1÷2=12.

师：当然分数与除法之间还有许多密切的联系，后面再陆续研究.

师：从上面三个实例可以知道，在进行度量、分物或计算时，如果不能获得整数结果，此时就常用分数来表示.

2.昨日重现：回顾分数初步认识的学习内容.

预设：课前每个学习小组都准备好一个神秘信封，内有蛋糕（图片）、圆、4 cm的线段.

师：打开神秘信封，用你选择的方式说明14的含义.（小组代表汇报）

生：把一个蛋糕平均分成四份，其中的一份就是14.

生：更准确地说，应该是：把一个蛋糕视为一个整体，用单位“1”表示，然后再把单位“1”平均分成4份，其中的1份就是14.

师：非常棒！此处应该有……（掌声）后续仿照这样，应该怎么说？

生：把一个圆片视为一个整体，用单位“1”表示，然后再把单位“1”平均分成4份，其中的1份就是14.

生：把一条线段视为一个整体，用单位“1”表示，然后再把单位“1”平均分成4份，其中的1份就是14.

师：一个物品、一个图形、一个计量单位等都可以视为一个整体，用单位“1”表示，再把单位“1”平均分成若干份，其中的一份或几份的数就叫分数.

3.揭示课题：（板书课题：分数的意义）

师：一个物品、一个图形、一条线段可以用单位“1”表示，还有什么可以用单位“1”表示呢？今天我们继续走进分数的世界.

（二）迁移类比充实“整体”内涵

1.趣味填空：你会吗？

365（天）=（1年），7（）=（），

5（）=（），10（）=（），

12（）=（），60（）=（）.

师：从上面的趣题，你得到了什么启示？

生：许多物体或许多图形也可以视为一个整体，用单位“1”表示.

师：多么神奇的单位“1”！

师：整数叠加单位“1”均分分数.（板书）

（三）立足单位沟通内在联系

1.分数单位：均分单位“1”，建立分数单位的概念.

课件呈现：充分结合课件，沟通内在联系.

（1）一盒饼干（打开呈现出4个）视为单位“1”，把单位“1”平均分成4份，表示其中的1份，记作：14，即平均分成4份，其中的1份就是14，具体地说，是几个？也就是说4个饼干的14是1个，或者还可以表示这样的关系，1个饼干是这盒饼干的14;更简洁地说，1是4的14.

（2）8个苹果（圈成一个整体）视为单位“1”，把单位“1”平均分成4份，表示其中的1份，记作：14，即平均分成4份，其中的1份就是14，具体地说，是几个？也就是说8个苹果的14是2个，或者还可以表示这样的关系，2个苹果是8个苹果的14;更简洁地说，2是8的14.

（3）12颗糖（圈成一个整体）视为单位“1”，把单位“1”平均分成4份，表示其中的一份，记作：14，即平均分成4份，其中的1份就是14，具体地说，是几个？也就是说12颗糖的14是3颗，或者还可以表示这样的关系，3颗糖是12颗糖的14;更简洁地说，3是12的14.

師：通过上述学习，你还有什么发现？

师：同一个分数14，它们各自对应的具体量相同吗？为什么？

生：即便是同一个分数14，它们各自对应的具体数量不相同，分别是1个饼干、2个苹果、3颗糖.

生：因为它们的单位“1”不一样，或者单位“1”对应的整体不一样.第一个单位“1”是4个饼干;第二个单位“1”是8个苹果;第三个单位“1”是12颗糖.

师：如此抽象的问题，理解得如此到位、表达得如此清楚.掌声送给他！

师：除了把单位“1”平均分成4份之外，还可以平均分成……

生：2份.

生：3份.

生：5份.

师：说得完吗？该怎么说？

生：n份或者若干份

师：太棒了！就这么定了——若干份.

师：把单位“1”平均分成2份，表示其中的一份，记作：（）（）;

师：把单位“1”平均分成3份，表示其中的一份，记作：（）（）;

师：把单位“1”平均分成5份，表示其中的一份，记作：（）（）;

师：把单位“1”平均分成n份，表示其中的一份，记作：（）（）;

归纳小结：像这样把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位，记作：1n，读作：n分之一.

2.分数形成

（1）做一做：（做中学）

① 27的分数单位是（），其包含（）个分数单位;

② 415的分数单位是（），其包含（）个分数单位;

③ 1118的分数单位是（），其包含（）个分数单位;

④ 44的分数单位是（），其包含（）个分数单位.

（2）说一说：（学中思）

师：通过“做一做”，你思考了什么？发现了什么？

生：分數的形成.即：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数就叫作分数.

生：分数单位的结构——几分之一.

生：“几分之一”的“几”表示把单位“1”平均分成的份数，主要取决于“分母”，分母是几就是“几分之一”.例如，确定分数71 000的分数单位，首先看分母“1 000”，表示把单位“1”平均分成1 000份，其中的1份就是11 000.

生：分子表示所取的份数，例如，分数71 000的分子是7，表示这个分数包含7个这样的分数单位.

师：对.分母是几，分数单位就是几分之一，分子是几就表示这样分数包含几个这样的分数单位.

（四）抽象概括拓展分数意义

1.归纳概括：我们首先通过建构单位“1”，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数就叫分数;其次通过沟通“分数单位”与“分数”之间的内在联系，从“度量”的视角分析，分数可以视为“分数单位”的累加;最后通过“平均分”发现了“分数与除法”之间的共同点，分数可以理解为一个整数除以另一个非零整数的商.进而，从上述三个方面比较规范而深入地丰富了分数意义的内涵，比较系统而完整地建构了分数的概念.

2.明确关系：其实，分数还体现了这样一种关系——部分与整体，下面我们展开研究：

例如，把1个苹果平均分给2位小朋友，每人分得多少个苹果？

分析：① 将1个苹果视为一个整体，用单位“1”表示，把单位“1”平均分成2份，其中的1份，分数表示就是12，即半个.② “平均分”用除法，1÷2=12;为什么？因为“平均分”，他们分到苹果都是“半个”，通过分数的学习，知道了“半个”的数学表示就是12.

师：通过两种方法的比较，你发现了什么？

生：被除数就是分子、除号相当于分数线（表示平均分）、除数就是分母.

师：数学眼光非常犀利.还有发现吗？

生：商就是分数值.

生：分数与除法都有一个共同点——平均分.

生：因为除数不能为0，所以分母不能为0.

师：还有不同点吗？

生：除法是一种运算，分数是一个数.

师：有比较才会有鉴别，同学们非常厉害.老师欣赏你们！其实12还可以这样理解：“2”表示平均分成的总份数，“1”表示所取的或者占有的份数，因此，12可以理解为它们的“份数比”;体现的是一种“部分与整体”的关系.