基于APOS理论下的导数的概念教学设计

李瑞云

【摘要】APOS理论是美国数学家杜宾斯等人对数学概念的学习提出的理论，包含四个阶段：活动阶段、程序阶段、对象阶段、图式阶段，并运用于指导实践教学.本文结合APOS理论进行“导数的概念”的教学设计，以期对高中导数的概念教学有所帮助和启示.

【关键词】概念教学;APOS理论;教学设计;导数概念

APOS理论是美国数学家杜宾斯基等人基于建构主义理论发展起来的数学概念学习的理论模型，包含四个阶段：活动阶段（Action），程序阶段（Process），对象阶段（Object），图式阶段（Scheme）.[1]

一、基于APOS理论的导数的概念的教学设计

（一）活动阶段：创设情境，感知瞬时变化率

高铁的每一节车厢都有一个速度显示表（如图所示），那么310 km/h表示的是什么速度？

分析：在这一阶段创设情境，给学生提供实际生活的例子，使其亲身感受生活中的直观背景与概念之间的关系，学生在“活动”中形成对瞬时变化率主观认识的思考，能更好地理解概念.

（二）程序阶段：不断设问，体验导数概念形成的过程

我们上节课学习了平均变化率和瞬时变化率，求平均变化率的步骤是什么？怎样求函数y=f（x），x从x0到x1平均变化率？

一小球做自由落体运动，其运动方程为：s=12gt2，t∈[0，10]（g=9.8m/s2）

问题1：小球在t∈[1，2] s之间的平均速度是多少？

问题2：小球在2 s末的瞬时速度是多少？

问题3：平均速度就是2 s末的瞬时速度吗？

分析：此处主要通过不断设问，引导学生理解越逼近2 s范围的平均速度就越与2 s末的瞬时速度误差小，利用逼近思想得出2 s末的瞬时速度.

在这一阶段设计有启发、有层次的问题，充分发挥学生的直观与抽象思维的碰撞，引导学生积极主动参与知识产生的过程，使得学生对“活动”阶段进行描述和反思，进一步对瞬时变化率的思考，为建构导数这个“对象”起到铺垫作用.

（三）对象阶段：建构对象，导数概念形式化，符号化

问题4：若用f（x）来表示这个变化率问题中的函数问题，那么函数y=f（x）在点x=x0处的瞬时变化率如何呢？

分析：通过问题1和2结合画图及列表格分析函数y=f（x）在点x=x0处的瞬时变化率，经历由一个具体的物理问题扩展到一般的函数来理解.引导学生从理解瞬时变化率过渡到导数概念的形成，进而得到导数的概念.

在这一阶段学生对导数概念形式化、符号化，明确瞬时变化率与导数概念的联系，认识导数概念的本质.此时学生初步理解导数的概念，要使其成为一个具体的“对象”，需返回“活动”阶段，在“活动”的基础上进一步完善“程序”，经过不断循环之后，才能对导数概念从“对象”阶段上升到“图式”阶段.

（四）图式阶段：设计练习，建立综合心理图式

练习：1.求 limΔx→0f（2+Δx）-f（2）Δx=（）.

（1）根据求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤，函数在x=2处的导数是什么？

（2）其实际意义又是什么？

小结：回顾本节课所学内容，总结导数的概念形成过程，深化理解用数学语言描述导数的概念.

分析：通过以上三个阶段的教学，学生已经建立如下的心理图式：实际生活中导数思想的直观感知如高铁的瞬时速度、瞬时变化率与平均变化率的区别、瞬时变化率与导数的联系及形成过程等.教师设计理解导数概念的练习，使学生体会导数概念的运用及瞬时变化率的实际意义.通过练习与其变式，感受导数的形式的变化，两道选择题是互逆的，引导学生观察四个选项的区别及与f′（-1）的联系，实现学生对导数概念的直观感受与互逆思维的“碰撞”;例题侧重在理解导数在实际应用中的實际意义，引导学生回归“函数y=f（x）在x0点的导数就是瞬时变化率”的意义中去.

在这一阶段，可采用变式教学如在例题基础上变式等对导数概念进行具体运用，加深学生对导数概念的理解，帮助学生对导数概念的认识由“对象”上升到“图式”的高度.

二、教学反思

APOS理论强调学习是需要学生主动建构的，通过创设问题情境，根据学生对已有的知识引入瞬时变化率，由此过渡到导数的概念，激发学生求知欲，感受学习导数概念的重要性.而导数概念的学习不能只是流于形式，要凸显数学核心素养，上升到抽象层面，在设计导数概念的教学时，需要把导数形成的“活动”与“程序”向“对象”阶段转化，最后达到“图式”阶段，体现导数概念的本质与内涵.

【参考文献】

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.