既要学好知识 更要把握关联

浦叙德

初中数学中代数的学习内容呈现“布点”式螺旋上升的特征。所谓“布点”式螺旋上升，就是把初中要学习的内容按照由易到难的规律先后呈现，布下一个一个知识板块的“点”，然后在每个“点”上逐步深入。回顾一下进入初中以后我们学习的代数内容，分别是“第2章有理数”“第3章代数式”“第4章一元一次方程”和“第8章幂的运算”，如果将它们进行归类，第2章属于“数”，第3、8章属于“式”，第4章属于“方程”，那么即将学习的“第9章整式乘法与因式分解”显然也属于“式”的范畴。

本章内容可以分成三个块面，一是9.1、9.2、9.3构成整式乘法，二是9.4乘法公式，三是9.5因式分解。学好本章内容，我们不仅需要具体的知识作支撑，更需要有大局观念，明白各块面内容之间的关联，这也是今后学习数学从“优秀”到“卓越”的关键。本章中，第一块面与第二块面知识之间构成了“一般与特殊”的关系;第一、二块面与第三块面知识之间构成“互逆”的关系。下面就此展开说明。

一、如何全面认识“整式乘法”

我们先回顾一下七年级第2章有理数的“数”是怎么研究的。首先我们认识了负数，完成了初中代数的第一次飞跃，由此把正数、零、负数归为有理数，接着研究了有理数中相反数、绝对值和数轴等相关概念，进而就进入学习有理数的加减乘除乘方运算。由此可见，研究数的主要目的就是要进行数的运算。

用字母表示数，完成了初中代数的第二次飞跃，从特殊走向一般，把“数”的研究开始转向“式”的研究。代数式有许多种类型，而包含单项式与多项式的整式是其中最特殊、最简单的一类。认识了整式及相关概念后，式也将进入学习正题，就是学习代数式中整式的运算，包括整式的加减乘除乘方。那么，整式的加减运算在哪里学的呢？在第3章代数式中，我们曾经学过同类项概念与合并同类项法则，中间有这样一句结论：整式的加减就是合并同类项。由此可以看出，整式的加减在第3章代数式中已经学过，那么，接下去当然就要学习“整式乘法”。我们通过“数”的研究思路和方法，运用类比与对比，很容易就理清了“式”中“整式”研究的脉络与方法。

整式包括单项式与多项式，其进行乘法运算，从简单到复杂，从特殊到一般，就包括“单项式乘单项式”“单项式乘多项式”“多项式乘多项式”三类。其中单项式乘单项式是最简单、最特殊的情形，也是整式乘法运算的奠基工程。式的运算跟数的运算一样，同样需要借助法则，不同的是，有理数的运算其结果需要考虑“符号”与“绝对值”两个方面，而整式的运算其结果需要考虑“符号”“系数”“字母”与“指数”四个方面，相对来说开始变得复杂，这需要同学们养成细心耐心、思考周密的习惯。一旦把单项式乘单项式学扎实了，后面的单项式乘多项式、多项式乘多项式就简单了，用一句话来表达就是：把“多项式乘多项式”通过运算法则转化为“单项式乘多项式”，再通过运算法则转化为“单项式乘单项式”。

二、如何辩证认识“乘法公式”

乘法公式属于多项式乘多项式的特殊情形，乘法公式与多项式乘多项式构成了特殊与一般的关系。根据特殊情形从属于一般情形的关系，就算你不学乘法公式，就利用多项式乘多项式的法则，同样可以计算出最后的结果。那为什么还要学习乘法公式呢？这是由数学学科特点决定的。因为数学的本质追求的是“最简、最优、最美”，本来两项的多项式乘两项的多项式，结果应该有四项，但我们发现，当两个两项的多项式有一定规律的时候，其结果就变成了只有两项或三项。利用公式可以直接得到简单的结果，学习乘法公式就显得非常必要和重要。

对于平方差公式与完全平方公式，我们需要从三个层面来理解并掌握。一是要知道两个乘法公式不仅可以用代数的方法直接利用多项式乘多项式法则得到，还可以通过构造几何图形，利用面积的不同计算方法进行验证，分别从代数与几何两个视角看公式的得出过程，大大丰富我们对新知生长路径的认识。二是要知道两个公式的特征，在不同情形下能够快速地识别是否可用公式，用哪个公式，对公式中的a、b也要认识全面。a与b不仅可以是单项式，也可以是多项式，说明公式不仅具有一般性，而且具有广泛的应用性。三是要知道公式的特征。既然是公式，它就是一个等式，所以，不仅要掌握乘法公式的正向运用，还要熟练掌握其逆向运用。事实上，两个公式逆向使用，就是本章第三块面知识：多项式的因式分解。

三、如何宏观认识“因式分解”

我们首先需要明确的是，前面的整式乘法与乘法公式两个块面都是属于式的运算，但因式分解这个块面不属于运算，属于式的恒等变形。其次，因式分解的对象是多项式，所以，研究因式分解的前提条件是针对一个多项式而言。既然因式分解不属于运算，那么，在此学习是为什么呢？这是基于两个原因。其一，前面已经谈到，初中代数的呈现是布点式螺旋上升，后面即将学习新知识的过程中很快需要用到多项式因式分解这个“式的变形”，所以在这里先布点。其二，多项式的因式分解与整式乘法中單项式乘多项式、多项式乘多项式的过程正好互逆。部分同学学习了整式乘法后再学习因式分解，会产生迷茫和混淆，上面的分析其实已经非常明确地告诉大家如何区分两者：整式乘法是式的乘法运算，结果是单项式或多项式，而因式分解是式的恒等变形，结果是几个整式的积。

多项式的因式分解方法共有提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法四种。单项式乘多项式的法则可以用符号语言a（b+c+d）=ab+ac+ad来表示，反过来， ab+ac+ad=a（b+c+d）就变成因式分解的提取公因式法的符号语言;整式乘法之乘法公式用符号语言（a±b）2=a2±2ab+b2、（a+b）（a-b）=a2-b2来表示，反过来，a2±2ab+b2=（a±b）2、a2-b2=（a+b）（a-b）就变成因式分解的运用公式法的符号语言;同样，多项式乘多项式的（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，反过来就变成因式分解的分组分解法;而多项式乘多项式的（x+a）·（x+b）=x2+（a+b）x+ab，反过来就变成因式分解的十字相乘法。

综上我们可以看出，随着“数的运算”转换到“式的运算”，不仅过程和结果变得比较复杂，而且各个数学知识之间的关系也开始变得纵横交错，这就要求我们把学好数学知识放在第一位，在此基础上，还要理清各个知识块面之间的相互关联，只有这样，你的学习才能做到知其然，还知其所以然，也只有这样，你的数学学习才会从优秀走向卓越。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）