Gray-Scott系统的精确行波解

郑任翔，刘小华，宋佳谦

（贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州贵阳550025）

1 引言

非线性偏微分方程行波解的研究是许多领域的重要课题，行波解是偏微分方程及其耦合系统的一种精确解，国内外诸多文献成果也表明对方程和耦合系统进行行波解考虑也是有意义的。国内外学者们给出许多有效的求解行波精确解的方法，比如，逆散射变换法[1]、Hirota's法[2]、Backlund[3]and Darboux变换法[4]、齐次平衡法[5]、待定系数法[6]等等。并且借助这些方法给出了许多偏微分方程和发展方程的精确孤波解、精确行波解的显式表达式[7-9]。

本文主要考虑Gray-Scott系统

的精确行波解。Gray-Scott描述的是一类化学反应过程，是反应过程的无量纲控制方程。因此构建此类非线性方程的行波解有其重要的科学意义和广泛的应用背景。Arjeen.Doelman和Robert.A.Cardner[11]，通过调整周期分岔点和霍普夫分岔点的区间尺度得到了一维的Gray-scott系统的奇异同宿稳定解和空间周期解。魏俊成通过改变二维Gray-scott系统的参数得到了二维不可逆Gray-scott系统的解的存在性和单个波动方程的稳定解[12]，等等，在此研究的的基础上，本文利用 改进的方法，给出了Gray-Scott系统新的精确行波解。

2 Gray-Scott系统的精确行波解

首先对Gray-Scott系统做行波变换，令

利用齐次平衡原则，确定e和g的值，在（2）式中UV2为非线性项，而U"，DV"为最高阶导数项，所以

由（15）+（18）可得 D(1-k)=1-k 则 D=1。由（16）+（19）可得A=R

由（17）+（20）可得 A-Aa0-Rb0=0，因此 b0=1-a0(a0为任意常数）.

综上所述，方程组的解为：

a0=M(M为任意常数），(M 为任意常数），

根据文献[10]中的结论可以得到Gray-Scott系统（1）的精确行波解为：

其中 m，n，k，C1，C2为任意实参数，i为虚数单位，x-ct.

3 结论

本文应用改进的G'/G方法，获得了Gray-Scott系统在四个不同条件下的8组新的精确解，包括指数函数解、三角函数解、双曲函数解。据我们所知，这些解在以前的文献中还查找不到。这些新解有助于人们更好的了解Gray-Scott系统所描述的化学反应过程。此外可以猜想，类似本文的方法，借助其它的求解方法，还可以构造Gray-Scott系统更多的新