一题管窥45°角的处理思路

我们在学习过程中有时会遇到关于45°角的问题，如何解决这类问题？下面，我们通过一道试题来一探究竟。

例题 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，求点C的坐标。

图1

【解析】由于本题没有交代点C在y轴正半轴还是负半轴，因此这道题目中点C的位置需要分两种情况讨论。这两个位置正好关于x轴对称，因此我们只需讨论点C在y轴正半轴的情况，然后由对称性求出点C在y轴负半轴的情况。

（方法一）如图2，以45°角为基础，构造等腰直角三角形，由△BCF与△BDE全等，设法求出OC的长。

解：如图2，过点B作BD⊥BC，交CA的延长线于点D，过点B作x轴的垂线，分别过点C、点D作x轴的平行线，分别交过B点的x轴的垂线于点F、点E。

∴∠CBD=90°，∠E=∠F=90°，

∴∠CBF+∠DBE=90°，∠DBE+∠BDE=90°。

∴∠CBF=∠BDE，

∵∠BCD=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=BD，∴△BCF≌△DBE。

设OC=m，则BF=DE=m，

∵A（4，0），B（-6，0），

∴OB=CF=BE=6，∴DG=m-6。

∵OA∥DG，∴△AOC∽△DGC，

∴[OADG]=[OCCG]，[4m-6]=[mm+6]，

解得m1=12，m2=-2（舍去）。

∴C点坐标为（0，12）。

由对称性可知，当点C在y轴负半轴时，点C的坐标为（0，-12）。

（方法二）如图3，再过点D作DH⊥x轴于点H，其实这一思路与前一思路类似，因为△BOC与△CFB全等，△BDE与△DBH全等，所以△BOC与△DHB全等。求m值的时候，可利用△AOC与△ADH相似来解决。

（方法三）如图4，构造等腰直角三角形，还可以过点B作BK⊥AC于点K。

解：过点B作BK⊥AC于点K，设OC=m，则△BCK为等腰直角三角形。

在Rt△BOC中，

BC=[OB2+OC2]=[m2+36]，

∴CK2=[m2+362]。

同理：AC=[m2+16]。

∵△AOC∽△AKB，

∴AB·OC=AC·BK，∴BK=[10mm2+16]，

∴[100m2m2+16]=[m2+362]，解得m=12。

（方法四）过点A作BC的垂线，解题思路同方法三。

（方法五）利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，将45°角转化为90°角来解决问题。

解：如图5，设△ABC的外接圆圆心为M，∵∠ACB=45°，∴∠AMB=90°，且MA=MB。

∴△AMB为等腰直角三角形，∵AB=10，∴MA=MB=[52]，M（-1，5）。

∵C（0，m），∴CM=[1+m-52]。

∴[1+m-52]=[52]，解得m=12。

（方法六）套用两角和的正切公式：tan（α+β）=[tanα+tanβ1-tanαtanβ]来解决。

解：設∠BCO=α，∠ACO=β，OC=m，则tanα=

=[6m]，tanβ=[4m]。

∵tan（α+β）=[tanα+tanβ1-tanαtanβ]，

∴1=[6m+4m1-6m·4m]，解得m=12。

【点评】从以上解法可以看出，遇到45°角，有两种常用处理思路：

一是设法作垂线段，将45°角置于直角三角形中，构造等腰直角三角形。若是遇到斜着放的直角，可以考虑构造“K型”相似来解决。

二是利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，将45°角转化为直角。运用两角和的正切公式非常简便，但由于这个公式是高中的内容，在这里使用属于超纲，如果使用，请务必将公式写清楚。

（作者单位：江苏省海安市海陵中学）