在梳理中深化 在巩固中提升——高中数学复习教学的有效策略

陆 琪

(江苏省吴江中学 215200)

复习课是教学活动的重要组成内容，与平时教学互为补充，互相促进.同时复习课又与平时教学侧重点有所差异，平时教学侧重于“点”，复习课侧重于“线”和“面”.教师在复习课的内容安排中一般通过某个知识点作为引申，将涉及到的方方面面内容都加以讲授.通过复习课让学生对知识的掌握更加牢固，对问题的解决更加灵活.就高中数学而言，复习课教学应结合课程特点和学生的认知规律，将侧重点放在梳理和巩固已学知识、拓展学生思维空间、深化学生自主复习等方面，应用典型习题、改变问题的提问方式以及渗透解题方法等策略，捋清数学概念，促使学生掌握知识本质，增强复习课的教学实效性.

一、抓住学生主动性，捋清数学概念

在现有的复习课内容安排中，教师占据着主导地位.通过问题的引入，教师引导学生逐步找到解决问题的方法.在整个过程中，学生主动参与度不高，甚至是全盘处于教师的引导下，被动等待教师给出解决办法.如果学生不能主动参与到复习课的教学活动中，就无法保障复习课的效果，也不能帮助学生构建完整的知识结构体系.因此，教师的复习课安排，除了内容的有效选取之外，还要积极调动学生的兴趣，让数学概念在学生的脑海中扎根.

案例1：有一个正圆锥容器，底面水平，半径为a，锥高为b，顶点朝下.现有一股水流以v速率注入该容器，请问当容器水深y时水面上升的速率.

从上述案例的解决过程中，可以发现对于数学概念的熟悉程度一定程度上反映了问题的难度.学生既要熟悉数学概念，又要能够通过问题的描述转化为相关的数学概念.如果教师在复习课的内容安排上能够帮助学生将数学概念的掌握程度进一步夯实加深，也就能帮助学生提高灵活运用知识的能力.

二、运用问题多变性，掌握知识本质

问题的提出是为了将内含的知识传授给学生，让学生通过解决问题既掌握了知识本质，又学会了灵活运用知识解决问题.同时，教师要将问题的表现形式丰富化、多样化，拓展学生的观察思维和思考角度.问题的提出肯定不能由教师包办，否则容易让学生的思维僵化，成为“一潭死水”.在复习课的教学活动中，教师还可以引导学生通过自身对知识的理解程度提出问题.从解题者的角度转变为出题者的角度，能够让学生更加深入地去探究知识的本质.角度的变换可以带给学生新颖的感觉，提升学习兴趣.

案例2：求证：对任意n≥6都会存在一个能够剪成n个全等三角形的凸六边形.

经过思考，学生将题目转换成如下说法：n个全等三角形能拼成一个凸六边形吗？对比后学生发现，转换过后的问题比原题思考起来更加简单.

案例3：证明存在无穷多个素数.

同样，将原问题可以转换成如下的等价叙述：证明不存在最后一个素数P.转换后的问题，避免了“无穷”这一较为抽象且不易理解的概念，学生很快联想到运用反证法去解决问题.由此可见，从不同的角度进行变更，学生对问题的解决也会产生不同的方法.因此在平时的解题教学中，教师可以引导学生以迎合“数学思维”的原则去变化问题的提问方式，促进学生对知识本质的掌握，从而更快、更好地解决问题.

案例4：甲乙丙三人都持有若干扑克，每人手中扑克牌标记的数字都不相同，并且每人所有扑克牌标记数总和不超过100.现在从甲乙两人手中任意各抽取一张扑克，两张扑克标记数之和不等于丙手中任意一张扑克上的标记数.请问三人共有扑克多少？

解题的关键在于首先用数学语言将问题进行表述，可以采用集合的概念.表述如下：现有集合{1，2，3，…，100}，A、B、C是其三个子集.∀a∈A，∀b∈B，均有a+b∉C，那么|A|+|B|+|C|=?问题的描述一下子就变得简洁明了，学生的解题难度大大降低.

三、拓展解题思路，深化自主复习

学生的学习如果没有自主积极性的调动，教师的教学活动将只能是“事倍功半”，教师和学生的精力得不到充分的利用，反而产生巨大的损耗.因此在复习课的教学活动中，教师必须通过内容的安排调动学生的主动性意识.复习课的开展本身就是在学生已经具备一定的知识基础上，所以复习课的内容要讲究深度和广度.以问题作为载体，让学生在思考的过程中，发散思维，拓展眼界.教师从不同的角度对问题进行解读，引导学生巩固已有的知识基础，丰富讨论问题的多样性.通过类比推理、对比讨论、归纳总结等方式，提高学生的数学思维，增强复习效果.

案例5：已知f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0,a≥0).

(1)设F(x)=xf′(x)，请分析在(0,+)内F(x)的单调性，若有极值，请计算.

(2)请证明x>ln2x-2alnx+1(x>1).

解析(1)分析在(0,+)内F(x)的单调性，可以通过分析F(x)的导数F′(x)就可以得到答案.

(2)要证明x>ln2x-2alnx+1(x>1)，可以对该式进行变形，将问题转化为证明x-ln2x+2alnx-1>0.所以只需要证明f(x)>0(x>1).由已知条件可得到f(1)=0，因此只需证明f(x)>f(1).这正好是在(1,+)内f(x)单调递增的特性，在上一题中我们已经得到答案.

列表如下：

xF(x)F(x)(0,2)-20极小值F(2)(2,+∞)+

通过上表可以得知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，+∞)内是增函数.

因此，在x=2处取得极小值F(2)=2-2ln2+2a.

(2)证明：已知a≥0，所以F(2)= 2-2ln2+2a>0.

结合上表可以得到，F(x)=xf′(x)>0(x>0)，进而得到f′(x)>0，也就表明f(x)在(0，+∞)内单调增加.又因为f(1)=0，所以当x>1时，我们有f(x)>f(1)，即x-1-ln2x+2alnx>0，问题2得证.

总结：当前在解决f(x)>g(x)，x属于区间(a，b)的问题时，一般把问题转化为f(x)-g(x)>0，x属于区间(a，b).可以令h(x)=f(x)-g(x)，求解h(x)在区间(a，b)中的最小值.只要h(x)min>0，问题就得到了解决.本题就是将问题不断进行转化，从而一步步地犹如“抽丝剥茧”般得到了问题的解决办法.

总之，复习能帮助学生有效巩固知识，整理与应用知识，提升思维空间.教师应基于学生发展的角度优化复习课的教学样式，有的放矢地引导学生主动探究和高效复习，在巩固现有知识的基础上弥补短板、尝试拓展，帮助学生构建自己的数学知识体系.