初中数学函数教学研究—以一次函数为例

徐晓光

【摘 要】函数是中学数学教学的一条主线，同时是教学的重点及难点。函数是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，是量化地描述运动变化现象的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系。本文以一次函数教学为例来研究函数，把握函数的本质概念，体会数形结合思想，对以后研究函数的图象及性质至关重要，同时为以后学习二次函数、反比例函数等打下基础。

【关键词】一次函数；数形结合；类比

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）07-0228-01

函数在数学这门课程中占据着重要的地位，从初中到高中，简单函数到复合函数，初等函数到超越函数，显函数到隐函数等，同时函数还和物理、化学等学科有着密切的联系，可见函数的重要性非同一般。一次函数是学习其它各类函数的起步阶段，一次函数的学习基础没有夯实，那么后面的函数学习会遇到各种困境。本文就谈谈教师在教学过程中需要注意一些问题。

一、函数的概念学习

函数概念是初中学生首次遇到的用数学关系给出的定义，与以往数学概念的定义不一样，学生接受起来有一定的困难。笔者通过教学发现，中学生学习函数困难主要有以下两个原因：

1.函数自身的抽象性。

北师大版教材是这样给出函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。函数内涵深刻又外延丰富，很多同学表面上理解以为函数就是简单的一个数，其实不然，函数是刻画变化过程中变量之间的对应关系。教师要抓住概念的核心词，把概念给学生讲透，要舍得在这里花时间。很多老师在讲函数起始课时，不注重概念的教学，对概念没有深入的研究，单纯地教学生函数就是一个变量依赖于另外一个变量。深入研究函数的概念，要想让变量y成为变量x的函数，需要满足两个条件：①在同一个变化过程中，有两个变量x和y；②对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一的值与之对应。“单值对应”是函数概念的关键词，是函数概念的核心所在。

中学生学习函数困难在于难以概括出“一个变量的值的确定导致另一个变量取值的唯一确定”这一函数概念的核心特征，当一个变量的值确定时，另一个变量怎样才算“唯一确定”？学生容易误以为函数关系中的“唯一确定”仅仅是可以通过式子求出的唯一值，对不能用式子求出值的单值对应关系难以理解。因此，教师在教学过程中，要突出函数的本质属性，剥离“用式子表示变量关系”這一非本质属性。

2.中学生认知的局限性。

中学生思维认知的局限性，对于函数的本质理解有一定的困难。尽管初中生的抽象逻辑思维在不断发展，但是具体形象思维仍然发挥着主要作用。对他们而言，函数这样具有抽象性的概念，理解起来还是有一定困难。如果函数的教学时间过长，又没有具体的函数做支撑，会加大学生对函数的认知负荷。由于上述已经给出函数概念，但是常量、变量的描述容易造成歧义，比如：2016年北京地铁票价统一为2元，那么票价与站数之间的关系是不是函数关系呢？这对于刚刚接触函数概念的中学生来说，存在认知的困惑。

二、一次函数的教学思考

教师要想把一次函数教好，首先要有一个好的教学设计，根据自己班级学生的学清制定切实可行的教学目标，在教学过程中不断地根据学生的反馈优化自己的教学目标。只有这样，教师才有可能提高一次函数的教学效果。笔者更多关注的是每一节课的教学目标是否达成了？还是只是习惯了传统的“双基”教学？只注重基本知识和基本技能的训练？而忽略孩子解决问题的能力以及思考问题的方向以及角度？

笔者根据本班孩子的学清，从知识技能、过程与方法、情感态度三个方面制定了符合学清的教学目标[2]。

1.在具体的情境中，经历一次函数的抽象过程，能够区分一次函数和正比例函数；根据两点能够画出一次函数y=kx+b的图象，能够辨析一次函数y=kx+b和正比例函数y=kx的位置关系。

2.能够根据一次函数的图象总结函数的性质，体会数形结合思想在一次函数中的益处，培养学生能够运用数形结合的方法解决问题的能力，同时培养学生对一次函数的总结、归纳概括的能力。

3.让学生根据图象分析一次函数和正比例函数，体会两者之间的联系与区别，领会一般和特殊的辩证关系。

4.通过一次函数的教学，培养学生的数学思维能力以及积极思考问题的数学学习习惯。

怎样实施教学呢？

笔者认为数学应该与生活息息相关，根据生活中的实际例子激发学生的学习积极性。笔者在引入新课的时候，这样设计问题：某辆汽车油箱中原有油100L，汽车每行驶50千米耗油9L。根据这句话，你能提出什么问题呢？

这样具有开放性的问题，学生对于一次函数的学习就会有好奇心。一开始设计这样的开放性问题，学生的思维就会发散，能够培养学生的数学思维能力，激发问题生成。开放性问题不同于封闭性问题，开放性问题可以让各个层次的孩子都参与进来，引发学生思维的碰撞，本开放性问题与学生的平时生活息息相关，学生会很感兴趣，这对于本节课的教学开了一个好头。

【片段教学实录】

根据刚刚的问题，你能提出哪些与数学相关的问题？

生1：汽车行驶100千米，耗油多少升？

生2：汽车行驶的路程可以无限远吗？

生3：油箱剩余的油量和汽车行驶的距离之间有什么关系呢？

生4：当油箱中的油量全部用完时，汽车能够行驶多远？

……

同学们提的问题真好！笔者及时抓住学生提的问题，重点选择学生3的问题，与全部同学一起研究探讨，其余问题留给学生自己研究。

此外，笔者还要求学生利用课余的时间去走访一下超市、打出租车、了解一下收费站收费情况，观察一下自己周边的这些事物是否有函数有关呢？如果有关，是存在怎样的一种函数关系呢？通过这样的作业布置，让学生感受到函数就在我们身边，随处可见！让学生感受到函数的应用价值，体会到函数并不是那么遥不可及，增加学生学习函数的信心。