利用想象表象提升初中生几何学习品质的实践与思考

杨剑

[摘  要] 数学研究的对象之一是“形”，数学中的形是数学抽象的产物. 在初中几何教学中，数学抽象意味着学生对形进行加工，其中的加工方式之一就是想象，而想象的产物往往就是想象表象. 作为数学教师，我们要研究几何教学中学生构建想象表象的契机，并抓住这个契机，培养学生的学习品质.

[关键词] 初中几何;想象表象;学习品质

数学教学的对象是数与形，其中“形”在初中数学教学中最充分的体现，就是几何内容的学习. 几何学习的对象自然是各种各样的形，而这些形又不是实际生活中物体的形，而是经过数学抽象之后形成的形. 从数学抽象的角度来看，这些形既可以视作数学抽象的产物，也可以视作学生想象的结果，因为想象的过程就是抽象思维发挥主要作用的过程. 同时，在初中几何的学习中，有些图形已经完全脱离了实际生活，客观上只来自学生的想象，尤其是学生基于抽象图形进行深度思维加工的时候，学生大脑中所形成的图形基本上都是想象的产物，这在心理学上被称为想象表象. 研究表明，初中数学几何教材作为数学形象知识的载体，对于提高初中生的逻辑思维能力、培养学生的想象力来说，发挥着重要的作用，能真正促进学生几何思维品质的提高. 基于这样的判断，笔者以为，在初中几何教学中，教师要善于抓住几何教学的契机，提升学生的学习品质.

初中几何教学中想象表象的存在

表象是人见过的事物在大脑中留下的印象;想象表象是人在经验基础上通过思维加工形成的表象，其在实际生活中可能并不存在，但想象表象确实能够支撑人去认识事物. 想象表象得以构建的主要原因在于人的想象，大量的实践研究以及相关的理论研究表明，想象是一种特殊的思维活动，是凭形象思维和逻辑思维对头脑中已经接受和贮存的各种信息、材料、表象进行重新排列组合、改造，创造出未出现事物的形象……想象的基本材料是表象，表象贫乏的人，想象不可能丰富.

在初中几何教学中，学生有丰富的构建想象表象的机会. 例如，在“三角形的边”的教学中，教师帮学生建构三角形的边的认识时，可以出示图1，将塔吊的吊臂与两边的钢索组合的图形抽象成一个三角形，这样三条边的认识对于学生来说就变得非常直观了. 如果进一步从学生表象构建的角度去分析，可以发现，其实学生大脑中所构建出来的三角形与教师所想象的有所不同. 根据笔者所做的调查，有相当一部分学生在认识三角形的时候，大脑中首先出现的是“三个角”，这符合学生对三角形概念的最直接反应，因为有三个角所以该图形被称为三角形（这实际上也是数学概念自身的特征之一，初中几何中的数学概念基本上都是基于抽象得到的图像的最直观的特征来进行命名的，包括角的符号、平行的符号等，实际上这也是经由直观想象后得到的表象的产物）. 同时，学生认识了三角之后，会进一步认识三边，所以后来在看到只有三条边的图形时，往往就直观地认识到这就是三角形. 由于学生加工三角形所需要的思维过程并不复杂，通过想象构建出来的三角形表象也比较直接，因而教师即使不认真引导学生进行加工，学生也可能通过自己的经验及思维构建出来. 但不可否认的是，对于许多类似于此的几何知识，学生都有类似的想象活动，大量的能够支撑几何学习的想象表象也是在此过程中出现的.因此可以认为，初中生的几何学习离不开想象表象的存在，而学生在几何学习中也必然要借助想象表象去构建最基本的图形，并在此基础上构建复杂的图形，同时认识图形及图形变换中存在的规律.

基于想象表象培养学生的学习品质

就笔者的分析来看，初中生在几何学习中，想象表象有时候是自然形成的，这得益于学生在生活中已经形成了一定的构建想象表象的能力. 而遇到复杂图形或复杂问题的时候，其想象表象构建往往会有一定的困难，而教师帮助学生克服这个困难，就可以在促进学生更好地理解几何概念与规律的同时，提升自身的学习品质. 下面以“三角形”教学中的几个细节来说明.

示例一：三角形知识学习之后进行的简单总结.

笔者提出的问题是：根据三角形三个内角的大小，我们可以对三角形进行什么样的分类？

提出这个问题之后，笔者没有给学生呈现任何图像，而是让学生基于这个问题去思考，同时提醒他们可以在草稿纸上画一画. 在巡视观察的过程中，笔者发现学生会在草稿纸上画出不同类型的三角形，其中有锐角三角形，有直角三角形，也有钝角三角形. 但可以看到，有些学生起初有些模糊，随后画出的三角形也不是分类思想下的画图结果. 于是笔者就在小组讨论的过程中追问：你为什么会画出这些三角形？你画的三角形有没有重复的？（因为有的学生画的是两个形状不同的锐角三角形）这样的追问，可以让学生对分类标准更加明确，于是大脑中的三角形就与三角形的分类形成了良好的对应. 这个对应其实就是学生在展开思维与想象，最终形成的三角形分类结果也就清晰了.

示例二：探究三角形两边之和大于第三边的性质.

笔者在教学中给出的问题是：有一只蚂蚁在三角形的一个顶点处，它想到达相邻的另一个顶点，有几条路径可以选择呢？它们的长度一样吗？

上述问题的提出同样不急着给出图形，而是让学生结合问题的文字描述，自己在大脑中想象相应的图形（可以在草稿纸上画图）. 调查表明，学生此时的想象重点已经不是三角形本身了，而是根据蚂蚁可能走的两条路径，所得的“两边之和”与“第三条边”的长短关系了. 这是一个问题，这个问题会驱动学生去猜想这个长短关系，并尝试做出证明. 我们有理由认为，此时学生大脑中的想象表象是有效的，甚至是动态的：当蚂蚁沿着两条路径爬的时候，孰长孰短？这驱动着学生进行深度思考，同时能促进问题得到有效解决.

示例三：三角形知识的应用.

应用通常都是通过习题来完成的，通常情况下，教师可以循序渐进地呈现问题，而不急着提供图形. 例如：如果用一根长为20 cm的绳子围成一个等腰三角形，且腰是底边的2倍，那各边的长是多少？笔者以为，像这样的问题，教师一定不能直接提供图形给学生，而应当让学生通过自己的想象去构建图形，这样才能给学生真正思考的机会，才能让学生在思考的过程中调用已经学过的知识去形成想象表象.

以上三个例子针对三角形学习中的不同环节，同时又具有一些共同点，例如不急着向学生呈现图形等. 笔者以为，在初中几何教学中，结合问题的难度判断是否向学生提供图形，是一个重要的策略，而不提供图像，让学生展开想象，一定是培养学生巩固几何知识、综合性运用几何知识解决问题的重要途径. 而从学习品质的角度来看，正是学生习惯于想象表象的构建，才使得学生对用思维加工几何图形形成了良好的直觉，从而支撑良好学习品质的形成.

从核心素养视角看想象表象研究

核心素養是当下基础教育研究的热门概念，那么从核心素养的角度来认识几何教学中的想象表象培养，会有什么发现呢？

笔者以为，核心素养本质上是要培养学生的必备品格与关键能力，而对于课堂教学而言，能力培养显而易见又是重中之重. 那么，在初中几何教学中让学生充分地进行想象表象的构建，从而增强对图形的感知能力、组合能力、变化能力，然后对图形中相关的角和边赋值，于是数学问题就真正为学生所内化了. 显然，这是一种关键能力，其不仅指向学生几何学习的当下，还指向学生走出数学课堂之后面对生活中的各种各样的形的思维加工，笔者以为，这是核心素养的重要组成部分.

实际上，几何学习中学生进行的想象表象的构建，本身就是一种能力支撑的结果，没有一定的想象能力，没有必要的抽象思维以及逻辑推理能力，一个成功的想象表象是构建不出来的. 反过来，构建想象表象的过程，又增强了学生的想象能力、抽象能力和逻辑推理能力（例如上面所举的三角形学习的例子中，学生就有丰富的数学抽象、逻辑推理与直观想象的过程，而所形成的三角形认识，某种程度上也可以视作学生形成的数学模型），其直接指向数学学科核心素养中的数学抽象、逻辑推理与直观想象，因而促进了核心素养的养成. 既然核心素养的养成是有保证的，那说明其对应着学生学习品质的提升，毕竟学习品质与核心素养的培育之间存在着前者促进后者、后者彰显前者的关系.

综上所述，在初中几何教学中，教师需要努力引导学生进行想象表象的构建，这样不仅可以提升学生解决几何问题的能力，还可以促进数学学科核心素养的养成.