创意折叠桌的优化设计

张天周　王新蕊　于可欣

摘 要 本文运用了几何空间坐标系和建立多目标优化模型等方法，在满足稳固性、加工工艺简便性和木料最省的条件下，使用matlab等软件进行分析，得到折叠桌设计参数的最优解，更大程度上满足了制造商和顾客的要求。

关键词 折叠桌 多目标优化 边缘线 动态模型

一、引言

欲生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上。

二、建立折疊桌空间坐标系

为满足桌子的日常使用需求，需使桌高h=70cm，桌面直径2R=80cm，我们将以桌面下表面的几何中心为坐标原点建立空间坐标系，沿木条方向为X轴，垂直桌面长边的方向为Y轴，垂直圆桌表面向下方向为Z轴，且以第三象限进行研究。

三、折叠桌最优设计加工参数的计算

本问题归结为多目标优化问题：在满足折叠桌结构稳定、受力平衡条件下，尽可能使折叠桌木槽总长度最小，木板总长度最短。由已知条件可知，桌高h=70cm，桌面直径2R=80cm，根据经验值，设桌子边缘剩余长度为λ=6cm。当桌面高度一定时，木板总长度和桌腿的倾斜程度α有关。

（一）目标分析

1.折叠桌的用料最省。由于桌面的直径为木板宽度，要使折叠桌用料最少，需要在满足桌子高度的条件下最边缘的桌腿最短，即：

2.加工工艺简便。折叠桌的加工复杂程度主要受木槽长度的影响：

（2）

其中，k为钢筋在第一根木条上的位置到桌面边缘的距离与第一根木条总长度之比，di为折叠后钢筋到桌面边缘的距离。

（二）约束条件的选取

1.稳定性约束。木桌折叠后在一个状态下保持稳定，不能再继续弯折，在这个状态下，桌子一侧的最外侧木条与另一侧的最外侧木条之间的距离应大于或等于桌面宽度a倍，则：

根据经验可取λ=6，且此处a取值为1。

2.开槽长度和开槽位置的分析。圆形木桌桌腿在移动过程中，钢筋由初始位置慢慢向下移动，木槽的位置既不能超过木板的最外侧边缘线，也不能超过桌面的半径，最终开槽位置应该满足如下不等式：

3.左右两边木条互不影响。在木板折叠后，最中间木条由最外侧向中心位置移动，左侧右侧的木条不能接触，左边桌脚边缘线从平铺到折叠后始终在左半面内，即：

4.除最外侧木条外桌腿的离地约束。除最边上的4根木条落在地面起支撑作用外，其他木条均不能落地，即桌子折叠后其他桌腿的高度不能大于最外侧木条高度：

（三）建立优化模型

基于以上对问题的分析，将以公式（2）、（3）为目标函数，（4）、（5）、（5）为约束条件，利用matlab求解，通过改变桌腿条数n，可得到桌腿条数的改变对k和α影响情况，通过综合考虑，本文选择n=10作为最优解，由此计算出木板总长度为170.91cm。

并由此得到折叠桌的加工参数。第一根到第十根分别为82.45、68.02、61.45、56.89、53.45、50.81、48.79、47.30、46.26、45.66（cm），初始开槽位置横坐标为-45.03，且向X轴负方向开槽长度依次为0.00、8.92、14.67、19.38、23.29、26.52、29.10、31.09、32.49、33.32（cm）。

四、结语

本文在折叠桌高度、桌面直径已知情况下，综合考虑桌子多方面因素，总结出其目标函数以及约束条件，利用matlab求出了平板尺寸、钢筋位置、各木条的开槽长度等参数。

（张天周单位为华北理工大学机械工程学院；王新蕊单位为华北理工大学冶金与能源学院；于可欣单位为华北理工大学理学院）

参考文献

[1] 潘斌，于晶贤，衣娜.数学建模教程[M].化学工业出版社，2016.

[2] 刘卉，黄可坤.空间曲面方程在数学建模中的应用[J].教育现代化，2018，5（13）：263-265.

[3] 许丽佳，穆炯. MATLAB程序设计及应用[M].清华大学出版社，2011.