弱下集算子与弱上集算子

汪 鲲，卢 涛

(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000)

连续格理论与Domain理论来源于两个不同的背景：一是理论计算机中函数式语言的语义研究；一是偏序结构与内蕴拓扑的纯数学研究.经过多年的发展，连续格的大部分成果被推广到了Domain理论中，并与逻辑学、范畴论、(格上)拓扑学和Locale理论等众多领域和分支发生了关联.郑崇友[1]系统地论述了连续格理论的基本内容，其中也包含了我国学者近年来在该领域的一些研究成果.潘美林[2]引入了下集算子和上集算子的定义，并在此基础上研究了偏序集的一些性质，将下集算子作用在集合上，得到集合下确界的下集.自然而然会产生以下问题：有没有算子可以得到集合全体元素下集构成的集合？若存在,它有何性质？本文对上述问题进行研究，给出与这些问题有关的若干结果.

1 预备知识

定义1.3[1]设(P,≤)是偏序集，S⊆P.(1)若S≠∅，并且S中的任意二个元在S中都有上界，即∀a,b∈S，有c∈S，使得a≤c,b≤c，则称S是定向的或为P的定向子集；(2)若S≠∅，并且S中的任意二个元在S中都有下界，即∀a,b∈S，有c∈S，使得c≤a,c≤b，则称S是余定向的或为P的余定向子集.

定义1.4[1]设(P,≤)是偏序集，I与F都是P的非空子集.(1)若I是定向的下集，则称I是偏序集(P,≤)的理想；(2)若F是余定向的上集，则称I是偏序集(P,≤)的滤子.

定义1.5[1]设L是格，I与F分别是L的理想与滤子.(1)对于L的理想I，若1∉I，称I是真理想.对于L的滤子F，若0∉F，称F是真滤子；(2)若I是L的真理想，并且∀a,b∈L,a∧b∈I⟺a∈I或b∈I，则称I是素理想；(3)若F是L的真滤子，并且∀a,b∈L,a∨b∈F⟺a∈F或b∈F，则称F素滤子.

2 主要结论

定义2.1 设P为偏序集，F:P→P为算子，若∀x∈P，有F(x)=↓x或对P的任意非空集合S，∀x∈S，有↓x⊆F(S)，则称F为P的弱下集算子.

易知弱下集算子与下集算子等价⟺S有下确界.

定义2.2 设P为偏序集，G:P→P为算子，若∀x∈P，有G(x)=↑x或对P的任意非空集合S，∀x∈S，有↑x⊆G(S)，则称G为P的弱上集算子.

同理，弱上集算子与上集算子等价⟺S有上确界.

例2.1 设L为二元格，L=[0,1]，∀a∈L,F:L→L,G:L→L为平凡映射，若0∈F(a),1∈G(a)，则F为L的弱下集算子，G为L的弱上集算子.

例2.2 设P为偏序集，F:P→P为恒等映射，则F为P的弱下集算子与弱上集算子.

命题2.1 设P为偏序集，F:P→P为弱下集算子，则以下命题成立：(1)S⊆F(S)，若supS∈S，则F(supS)=F(S)；(2)F(F(a))=F(a)(幂等性)；(3)设P为∧-半格，对于∀a,b∈P有F(a)∧F(b)=↓a∧↓b=↓(a∧b)=F(a∧b)；(4)设P为偏序集，∀A,B⊆P，有A≤B⟺A⊆B≤F(A)⊆F(B).

命题2.2 设P为偏序集，G:P→P为弱上集算子，则以下命题成立：(1)S⊆G(S)，若infS∈S，则G(infS)=G(S)；(2)G(G(a))=G(a)(幂等性)；(3)设P为偏序集，∀A,B⊆P，有A≤B⟺A⊆B⟺G(A)⊆G(B).

命题2.3 设P为偏序集，F:P→P为保序映射，对任意的S⊆P，若F(S)为P的下集且S⊆F(S)，则F为P的弱下集算子.

注1 在命题2.3中，若S为定向集，则F(S)为理想，即x=supS⟹↓x=F(S).

命题2.4 设P为偏序集，G:P→P为保序映射，对任意的S⊆P，若G(S)为P的上集且S⊆G(S)，则F为P的弱上集算子.

命题2.5 设P为∨-半格，F:P→P为保序映射，S⊆P，若∀a,b∈P，a∨b∈S⟺a∈F(S),b∈F(S)，则F为P的弱下集算子.

证明 因a,b≤a∨b，故a,b∈↓(a∨b)，且a∨b∈↓(a∨b).对∀x≤a∨b(x∈P)，由a,b,x的任意性，x∨(a∨b)=a∨b∈S.从而x,a∨b∈F(S)，因x≤a∨b，F为保序映射，由x的任意性可知↓(a∨b)⊆F(S)，所以对∀a,b∈P，若a∨b∈S，↓(a∨b)⊆F(S)，即F为P的弱下集算子.

命题2.6 设P为∧-半格，G:P→P为保序映射，S⊆P，若∀a,b∈P，a∧b∈S⟺a∈G(S),b∈G(S)，则F为P的弱上集算子.

定理2.1 设L为格，F:L→L为保序映射，S⊆L，S为定向集且1∉S.则以下命题等价：(1)∀a,b∈L，a∧b∈S蕴含着a∈S或b∈S；(2)S中存在素元a；(3)F(S)为素理想⟺F为P的弱下集算子.

证明 (1)⟹(2)，设supS=s，因a∧b∈S蕴含着a∈S或b∈S，即a∧b≤s时，有a≤s或b≤s，则s为L的素元.

定理2.2 设L为格，G:L→L为保序映射，S⊆L，S为余定向集且1∉S.则以下命题等价：(1)∀a,b∈L，a∨b∈S蕴含着a∈S或b∈S；(2)S中存在余素元a；(3)F(S)为素滤子⟺F为P的弱上集算子.

证明 类似定理2.1的证明可证结论成立.

设L为Boole代数，┐:L→L为补运算(∀a∈L,a∧┐a=0,a∨┐a=1)，可得┐:L→L为逆合对应，故∀a,b∈L,a≤b⟺┐a≥┐b(证明过程可以参考文献[3]).

记I(L)为L上全体弱下集算子构成的集合，Γ(L)为L上全体弱上集算子构成的集合.

定理2.3 设L为Boole代数，┐:L→L为补运算，若F∈Ι(L),G∈Γ(L)，则┐F┐∈Γ(L),┐G┐∈Ι(L).

证明 对∀a∈L,∃┐a∈L，s.t.a∧┐a=0，a∨┐a=1.又F(a)=↓a，故对∀x∈↓a，有x≤a，进而x∧┐a≤a∧┐a=0,x∨┐a≤a∨┐a=1，因L为Boole代数，从而x∧┐a≤0,x∨┐a<1，故∃┐a<┐x,s.t.x∧┐x=0,x∨┐a

命题2.7 设L为Boole代数，┐:L→L为补运算，F,G分别为L的弱下集算子与弱上集算子，有x∈F(a)⟺┐x∈G(┐a).

证明 由定理2.3即可证明命题2.7成立.