错中巧思 精彩生成

■谢蓓蓓

一、展示原题，了解意图

已知二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（m为常数）。

（1）求证：不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

（2）当m取何值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？

该题是2018年南京市中考数学试题第24题，考查了二次函数和方程的相关知识，在解决问题的过程中渗透着数形结合、转化等数学思想，对学生的运算能力也有一定的要求。（1）主要考查了学生对二次函数与x轴公共点的掌握情况，涉及函数模型到方程模型的转化。（2）主要考查了学生对二次函数的图像与y轴交点的掌握情况，难度不大，却体现了数形结合、分类讨论等数学思想。

二、巧用错解，生成精彩

从运算上看，学生在去括号、合并同类项和完全平方公式的计算以及因式分解时出错较多，最典型的错误是在配方时对系数的处理上；从理解上看，学生对题意、概念、性质的理解不够深刻，尤其是对函数、方程概念以及它们的关系理解不到位；从思路上看，学生在解决问题时思路开阔，但探究程度大多浮于表面，思考得不够深入，导致得分率低。

错误解法1：

（1）将y=2（x-1）（x-m-3）整理得：

y=2x2-2（m+4）x+2m+6，

b2-4ac=［-2（m+4）］2-4×2（2m+6）=4m2+16m+16=m2+4m+4=（m+2）2≥0，

∴不论m取何值，该方程总有实数根，

∴不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点。

（2）2m+6〉0，

m〉-3，

∴m〉-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

错解分析：

学生在直觉上误认为4m2+16m+16可以简化为m2+4m+4，这样在配方时更加简洁。这和“将二次函数整理得y=2x2-（2m+8）x+2m+6后，紧接着得到 y=x2-（m+4）x+m+3”是同种类型的错误。学生这样的直觉源自哪里呢？应该是方程。再往深处想一想，学生为什么会出现这种“迁移”？方程“4m2+16m+16=0”之所以能写成“m2+4m+4=0”的依据是等式的基本性质2，而对于b2-4ac=4m2+16m+16而言，要想把等式的右边变为m2+4m+4，等式的左边应该变为才行。而平时在计算过程中通常会保留b2-4ac，所以就需将4m2+16m+16变为4（m2+4m+4）。学生出现这类错误时，教师不要急着否定和纠正，而应该一步步引导学生找到问题的症结所在，让学生在错误中反思、学习、成长。

另外，此解法中还有个容易被忽略的细节问题：二次函数没有根的判别式，b2-4ac只存在于一元二次方程。所以，这个解答缺少了将二次函数转化为一元二次方程的步骤，也就是少写了“当y=0时”。而此时，教师也可以追问：“2x2-2（m+4）x+2m+6=0可否变形为x2-（m+4）x+m+3=0？”再次增强学生对上一个错误的认识，同时也可以简化计算。而在第（2）题的解答中，学生直接将二次函数一般式中的“c”写出，令其大于0，显然是欠妥的。函数表示两个变量之间的关系，因变量随着自变量的变化而变化，当自变量确定的时候，因变量的值也唯一确定。也就是说，因变量的确定需要有自变量确定作为条件，所以，第一步的“当x=0时”必不可少。两个小题分别少写了“当y=0时”和“当x=0时”，虽然只有一步之差，但是这不仅是逻辑上的错误，更是理解上的错误。

正确解答：

（1）当 y=0时，可得 2（x-1）（x-m-3）=0，即（x-1）（x-m-3）=0，

整理得：x2-（m+4）x+m+3=0，

b2-4ac=［-（m+4）］2-4（m+3）=m2+4m+4=（m+2）2≥0，

∴不论m取何值，该方程总有实数根，

∴不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

（2）当x=0时，

y=2m+6，

2m+6〉0，

m〉-3，

∴当m〉-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

错解巧思：

在第（1）题中，要说明一个一元二次方程有实数根，除了用根的判别式，最直截了当的方法应该是求出这个方程的解。题中二次函数的“式结构”不同于一般式，所以，在将它转化为方程时，可以很快得到方程的解为x1=1，x2=m+3，也就是说二次函数经过（1，0），（m+3，0）两个点，这样就避免了正确解答中繁琐的计算，不仅提高了正确率，而且节约了时间。

题目只是要求证明二次函数与x轴有公共点即可，而该二次函数必过（1，0）点，至于二次函数与x轴的另一个交点（m+3，0），提或不提，并不影响此题的解答。那么，第（1）题的正确解答可以简单变为：

（a）当y=0时，可得2（x-1）（x-m-3）=0，

解这个方程得，x1=1，x2=m+3，

∴不论m取何值，该方程总有实数根，

∴不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

（b）∵y=2（x-1）（x-m-3）经过（1，0），

∴不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点。

错误解法2：

图1

（1）略；

（2）2（x-1）（x-m-3）=0的两根为x1=1，x2=m+3，

由图1知：m+3〉1，

∴m〉-2，

∴m〉-2时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

错解分析：

学生关注的焦点并不在“与y轴的交点”上，而是在“与x轴的交点”上，他的思路是先通过画出符合题意的大致图形，再观察函数图像与x轴交点的特征，从而得到关于m的不等式。数形结合是初中常见的数学思想，学生的思路是值得肯定的，不过他只画出了符合题意的一种图形，没有考虑到其他情况，在想法上缺乏深度。m+3不是一个定值，教师可以引导学生根据m+3在x轴上的位置情况进行分类讨论。题中已经有（0，0）和（1，0）两个定点，所以，学生自然而然将m+3放在0的左边、0上、0到1之间（不含0和1）、1上、1的右边五种位置上进行讨论。

正确解答：

（1）略；

（2）2（x-1）（x-m-3）=0的两根为x1=1，x2=m+3，

图2

图3

图4

图5

图6

①如图2，若m+3＜0，不符合题意，所以舍去；

②如图3，若m+3=0，不符合题意，所以舍去；

多胎之一葡萄胎是一种罕见且高危的妊娠，其诊断较为困难，应行详细系统的超声检查及病理分析。因很难准确的统计其母儿并发症和PGTD的具体发生率，处理时必须充分考虑到患者的意愿、自身条件及胎儿存活的可能性，其具体临床诊治仍有待进一步的研究。

③如图4，若0＜m+3＜1，符合题意，所以-3＜m＜-2；

④如图5，若m+3=1，符合题意，所以m=-2；

⑤如图6，若m+3＞1，符合题意，所以m＞-2。

综上，m＞-3。

∴m〉-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

错解巧思：

有些学生并不能系统地将m+3进行分类讨论，他们可能通过不断地尝试，画出符合题意的大致图形，发现当m+3在0的右边时情况成立，这样列式时只需m+3大于0，解答过程也简洁明了。

既然说到图形，笔者想到第（1）题其实也可以通过图形解决。已知二次函数的图像过（1，0），开口向上，要使得该二次函数与x轴有公共点，只需要顶点在x轴上或x轴的下方，所以，只需要顶点的纵坐标小于等于0即可。那么，又可以出现以下解决方法：

（1）y=2（x-1）（x-m-3），

y=2［x2-（m+4）x+m+3］，

y=2x2-（2m+8）x+2m+6，

又∵该二次函数开口向上，

∴不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点。

（2）①2（x-1）（x-m-3）=0的两根为x1=1，x2=m+3，

图7

由图7知：m+3〉0，

∴m〉-3，

∴m〉-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

②2（x-1）（x-m-3）=0的两根为x1=1，x2=m+3，

∴该函数的对称轴是直线x=2+0.5m，

∵函数的图像与y轴的交点在x轴的上方，

∴2+0.5m＞0.5，

∴m〉-3，

∴m〉-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

三、深层思考，优化课堂

1.准确归因，注重过程教学。

德国哲学家黑格尔指出，错误本身乃是达到真理的一个必然的环节。学生的错解最能反映学生对知识的认知水平和思维程度，教师只有深入、有效地分析这些错解，对它们进行深度的剖析，才能引导学生从错误中学习。比如错误解法1，除去系数的学生只有计算的直觉，缺少理解的逻辑，而此时教师如果把原因归结于学生的运算能力，那就是无效归因。而漏写“当y=0时”和“当x=0时”的学生，明显是对函数的概念、二次函数与一元二次方程的关系理解不够，而此时教师如果把原因归结于粗心，那也是毫无意义的。很多时候，学生的问题都是出在理解上，比如对概念的理解不准，对性质、关系的理解不够。笔者认为造成学生理解出现问题可能的原因是有的教师在教学过程中往往强调解题技能而忽略概念、性质等过程性教学，导致学生对概念一知半解，对关系理解不到位，发生了错误后却不知道错在哪里。所以这也提醒我们在教学过程中要注意过程性教学，不可以淡化学生对基本概念、基本性质的认识过程，而应该注重学生对数学知识的理解以及基本经验的迁移、类比和再生长。

2.尊重学生，促进思维生长。

函数与方程的关系研究是常见的命题取材，图像位置以及有无公共点也是数形结合思想考查的常见结合点。笔者认为解决此类二次函数的问题无非就是从“数”“形”两个角度出发。学生从“数”的角度最容易想到的应该就是“二次函数对应的一元二次方程”。而从“形”的角度，“二次函数的图像”应该就是他们最自然而然的联想（如图8）。

图8

图像与坐标轴的公共点、顶点、对称轴等是二次函数图像中的重要元素，也是学生思路得以延伸发展的引路牌。错误解法1中以“数”的思想主打，在判断根的情况时，绝大多数学生采用根的判别式进行判断，导致在运算上连连出错。学生之所以想不到求出方程的解的办法，笔者猜想很有可能是教师在课堂或练习中遇到此类问题时，总是强调使用根的判别式，从而导致学生出现思维定式。学生是有生命的个体，他们思考问题的方式自然也是多种多样的，教师强加的多了，学生的思维慢慢也就会固化。错误解法2中以“形”的思想主打，虽然解法上稍显繁琐，但是作为教师，我们应该顺应学生的思路，尊重学生的想法，否则很有可能错失一次思维发展的良机。学生在分类讨论到探究、总结规律再到函数图像再次联想的过程中，不仅打开了思路，让各知识点之间形成连接，而且数学思维也在不知不觉地生长，自然而然地分叉、延伸。千篇一律的景观树并不是我们想要看到的教育结果，我们需要做的只是给那些旁生的枝节一些适当的引导，让学生在思考问题时，思维能绽放出更多的精彩和可能。