言近而指远守约而施博

刘玉琴 张秀花

【教学内容】

苏教版第61—62页例3及相应的“试一试”“练一练”，练习十一第1、2题。

【教学目标】

1.使学生理解反比例的意义，能正确判断成反比例关系的量。

2.经历反比例意义的构建过程，培养学生的探索发现能力和归纳概括能力。

3.使学生体会反比例与生活的联系，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。

【教学重点】引导学生正确理解反比例的意义。

【教学难点】正确判断两种量是否成反比例。

【教学准备】教具——多媒体课件、作业纸。

【教学过程】

一、复习旧知，感受新知

“桃花怒放古城扬州，美景胜似十里桃林。”同学们，让我们去桃花林游览吧！

1.桃林里一棵桃树占地面积4平方米，我们一起来对口令，好吗？（课件展示如下表）

师：这里占地面积与桃树棵数成什么比例？为什么？

生：占地面积与桃树棵数成正比例。因为它们是两种相关联的量，桃树棵数增加或减少若干倍，占地面积也随着增加或减少若干倍，并且它们相对应比的比值（每棵桃树的占地面积）一定。

师：是的，成正比例的量具有两个特征：（课件出示）

（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化;

（2）比值一定。

【评析：由于学生对判断两种量是否成正比例关系有了一定的体会，所以教学时可以适当放手，利用知识迁移规律，让学生自行探索，给学生足够的时间和空间进行思考。】

二、对比探究，获取新知

1.师：桃花林主人准备扩大桃林，用300元購买桃树苗，购买桃树苗的单价和数量如下表

师：同学们，这里的单价与数量还成正比例吗？（不成）任何变化都是有规律可循的，猜一猜，这两种量到底是一种什么关系呢？（反比例关系）怎样的两种量成反比例关系？今天我们就一起来研究反比例的意义。（板书课题）

（1） 师：同学们，请仔细观察表中数据， 表中的两个量是怎样变化的？这种变化有什么规律？同桌讨论。

生：表中列举了单价和数量两种相关联的量，一个量扩大另一个量反而缩小，一个量缩小另一个量反而扩大，在变化的过程中相对应的量的乘积始终是3000。我想这两种量之间就是成反比例的关系。

师引导观察：我们一起从左往右看，你发现什么？从右往左看呢？上下对应看呢？

师：乘积都是3000，你们是怎样算的？（课件出示算式）数量关系式是什么？

生：单价×数量=总价（一定）

师：这时，我们就说单价和数量成反比例关系。

（2）概括得出反比例的意义。

师：现在你知道什么样的两种量成反比例关系了吗？

生1：每个表中的两种量都相关联。

生2：一种量变化，另一种量也随着变化。

生3：从变化规律上看，单价越高，购买的数量越少，单价越低，购买的数量越多。

生4：表中两种量相对应的两个数的乘积是一定的。

（3）师：大家太棒了，刚才我们通过观察数据、分析讨论发现：这种的关系叫作反比例关系，像这样的两种量，叫作成反比例的量。

2.感知几种不同的变化规律

师：你能根据表中已有的信息将表填写完整吗？

（1）① 导游带领60名游客来到“十里桃林”游览，让游客们分组活动，提出的分组建议如下表。

表3 “十里桃林”游览表

每组人数 3 6 15 …

组数 20   6 …

② 师：从这个表中你发现了什么规律？

生：总人数60人没变，每组人数和组数的乘积是一定的。

师：积是多少？怎么算的？你能用式子表示它们之间的关系吗？

生：每组人数×组数=总人数（一定）。

（除了积一定，你还发现了什么？）

每组的人数在扩大，组数反而缩小……

师：当总人数一定时，每组人数和组数成什么关系？（反比例关系）

师：同学们可真棒！能很快地在变化中寻找规律，发现关系。

③ 师：看，这是我们刚才研究的两张表格，它们有哪些共同点呢？

结合生回答，板贴：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，积一定。

生1：它们提供的两种量都是相关联的量。一种量扩大，另一种量缩小;一种量缩小，另一种量扩大。

生2：两种量的变化方向正好相反。

④ 师：其实反比例关系也可以像正比例关系那样，用字母式子来表示。

师：如果用字母x和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用：x×y =k（一定）来表示。

（2） 晚上，导游写了一篇游记，要把它打成电子稿。

表4 游记电子表

打字速度（字/分） 100 80 60 40 …

时间（分） 24 30 80 …

（1）教师：打字速度和时间成反比例吗？为什么？

师：你认为要判断两种量是否成反比例，要从哪几个方面来考虑？

生：一要看这两种量是否相关联，二要看乘积是不是一定。

（3）师：其实，反比例关系也可以像正比例那样用图像来表示。

师：请同学们观察这幅图，能看懂吗？（把你看到的说给大家听听。）

①这幅图中横轴表示什么？纵轴表示什么？

那A点表示什么？B点呢？（与表格中哪一组数量相对应？）

②乘积总是等于多少？图像上任意一点所对应的数的乘积也都等于2400。

③从A点到B点你看出了什么？那从B点到A点你又看出了什么？

④变化规律是什么？积都等于2400。（一定）

【评析：通过让学生多次经历判断正反比例的量的思考过程，使学生进一步积累对正反比例的量的感知。“有比较才有鉴别”，把相类似的问题放在一起找出区别和联系，分清异同，通过对比的方法可加深对概念的理解，增强记忆效果。辩思理解同样也是概念学习的好方法，在这里学生又可学到一招。】

（4）第二天，导游将带领这批游客行一段路程。

表5 行一段路程表

已行的路程（km） 1 2 3 4 …

剩下的路程（km） 19 18 17 15 …

填这个表时，你是怎样想的？这里的两个量成正比例或反比例吗？集体订正。

表6 用同样的速度去游览

路程（km） 12 20 24 36 …

时间（时） 3 5 6 7 …

填这个表时，你是怎样想的？

3.分类区别，概括意义

（1）教师：请同学们把这6张表进行分类，你会怎么分？分成哪几类？带着这个问题，请同学们分组讨论。

生：表1，6成正比例分一类;表2，3，4它们的乘积一定，分成一类;表5是和一定，不成正比例的单独分成一类。

师：为什么这样分类？

（2）师：现在我们一起来找出表2，3，4的共同特征。

教师概括：正比例是一种量增加或减少若干倍，另一种量也随着增加或减少若干倍;而表2，3，4中是一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。

表5虽然也是两种相关联的量，但是它们的变化规律是增加或减少相同的数，而不是扩大或缩小相同的倍数;它们的和一定，而不是商一定或积一定。所以，它们不成比例。

4.分類与整理

现在我们知道了两种相关联的量，当商一定时，成正比例;当积一定时，成反比例。刚才还研究了，当和一定时，不成比例;那差一定时，成反比例吗？能举个例子说明吗？（年龄差一定）还有两种量相关，如：年龄和身高，不成比例……

三、直观操作，加深理解

1.完成书第2题：下面每个小方格的边长都表示1厘米看图填表，并回答问题                          .

① ② ③

周长/cm 14 14 14

长/cm 6

宽/cm 1

① ② ③

面积/cm 12 12 12

长/cm 12

宽/cm 1

（1）长方形面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？

生1：长和宽是两种相关联的量，当宽扩大几倍时，长反而缩小相同的倍数，长×宽=长方形的面积（12 cm2一定），所以在上表中，长和宽成反比例。

（2）长方形周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？

师：很好！你是从反比例的意义说明的，还有不同方法吗？

生2：从两方面说明理由，意义：长×宽 = 积（不一定），不成反比例;

数据：长+宽 = 和（一定），不成反比例。

2.下面各题中的两种量是否成反比例？为什么？

（1）五（1）班人数一定，每组的人数和组数。（成反比例）

（2）被除数一定，除数和商。（ 成反比例）

（3）一条绳子的长度一定，剪去的部分和剩下的部分。 （不成反比例）

（4）三角形的面积一定，它的底和高。（成反比例）

师结合学生回答提醒：面积一定，底×高 =三角形面积的2倍也一定。

3.变式练习：下面的两种量是否成反比例关系？为什么？

（1）x×y =k（一定），x和y成反比例

（2）x×y =100，x和y 成反比例

（3）5×y =100，5和y 不成反比例

（4）5×20 =100，5和20 不成反比例

【评析：设置此题，体现比较隐晦的反比例关系，突破了难点，同时强化了本节课的重点和难点，使学生更加牢固地掌握反比例关系，有效地培养了学生一题多变的学习习惯，有利于培养学生的发散性思维。】

四、总结回顾，交流收获

1.今天我们研究了什么？你有什么收获？反比例与正比例有什么相同与不同的地方呢？

2.经典分享：“任何变化都是有规律可循的，规律是变化中不变的根据。”

五、板书设计

反比例的意义

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化

积一定

x×y = k（一定）

【评析：本课以六个表格类比练习形式，使学生进一步感受函数是反映现实生活中的一种有效模型，进一步深化对函数概念的理解，通过与正比例关系进行对比，与已有认知发生冲突，对反比例形成初步的感性认识。数学知识的获得离不开生活，数学学习更离不开生活。根据儿童的心理需求和教育教学的规律，要想让学生学得轻松，对知识掌握得牢固，只有让数学学习建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上，再加之与生活紧密联系，才能让学生真正掌握数学知识。当然允许学生举的反比例例子可以是错误的，通过新课的学习学生也会做自我认识的调整，从而把反比例概念真正纳入自己的认知体系。学生经历知识的探究和生成过程，充分认识到反比例是描绘现实生活中数量关系的一种数学模型，学生在探究中体会收获新知的快乐，从而激发他们积极参与、大胆实践的精神。

《数学课程标准》对数学教学要求的一个最突出的特点是遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历“做数学”的过程。本节课从现实生活中的大量反比例关系中抽象出反比例概念，让学生进一步感受反比例也是反映现实世界中变量关系的有效数学模型，逐步从对具体反比例关系的感性认识上升到抽象的反比例函数概念的理性认识，让学生经历了一个“正规化”的数学概念的形成过程，学生不仅感受到 “生活处处皆数学，生活处处有函数”，还认识到研究、思考数学问题的一般方法。】v