混合式步进电机模糊PID控制器设计仿真

许高齐，陈 玉，王 鹏

(安徽工程大学 机械与汽车工程学院，安徽 芜湖 241000)

随着自动化的不断普及，步进电机的市场需求量不断加大，而混合式步进电机因其优点多而得到了广泛应用。步进电机的原理是电机每接受一个脉冲信号，与之对应的就转动相应的角度或者进行一段直线位移，因此步进电机是一种可以将接受到的脉冲信号转为角位移或线位移的机构[1]。在工业应用中，根据实际需求，对步进电机的性能提出了更高的要求，而步进电机性能是由其所采用的控制方法决定的。目前很多学者在步进电机控制方面进行了大量研究，蔡开龙[2]等提出采用BP神经网络对步进电机的PID控制参数进行调整，提升了控制器计算速度与适应性，效果显著。董雷[3]等在两项混合式步进电机位置控制中应用了滑膜控制，使得电机位置控制的系统动态性能更加稳定。何庆[4]利用粒子群算法与常规PID相结合对步进电机的PID参数寻优调整，同时以卡尔曼滤波对控制噪声进行去噪，有效地改善了步进电机失步等现象。

PID控制技术在工程实践中应用非常广泛，而PID控制器是PID控制的核心，早在20世纪30年代英国学者考伦德和斯蒂文森首次提出PID控制器方法之后[5]，PID控制器以其自身的优势在工业技术中占有一席之地。对于步进电机控制常采用传统常规PID控制，但传统常规PID控制效果受到参数辨识精度的限制，因此传统常规PID控制很难满足步进电机时变和不确定性等控制系统问题。模糊PID控制通过将复杂的规则条件与信息通过计算机进行模糊推理，实现PID参数自调整，从而适应步进电机时变与不确定性等特点[6]。研究利用Matlab中Fuzzy Logic工具箱设计了一种模糊PID控制器应用于步进电机控制，并进行仿真，结果表明其控制效果较好。

设计了一种应用于步进电机的模糊PID控制器，实现了PID参数自调整，并与传统PID控制进行比照，仿真结果表明模糊PID控制对混合式步进电机的控制性能更好。

1 混合式步进电机的传递函数

1.1 混合式步进电机的选型

混合式步进电机在实际应用上主要有3种，对应的相数为两相、三相、五相。两相混合式步进电机高速环境下平稳性好，但其相对步距角大、低速环境易振荡；三相混合式步进电机与两相混合式步进电机相比，三相混合式步进电机具有平稳性好、步距角小、输出力矩大等优越性；而五相混合式步进电机精度高、低振荡、高转矩，但成本较高，控制较为复杂。为研究方便，以三相混合式步进电机为研究对象。

1.2 混合式步进电机传递函数

研究选用三相混合式步进电机，为后期设计模糊PID控制器提供研究理论基础，需对三相混合式步进电机建立数学模型，三相混合式步进电机对应的微分方程[7]：

(1)

转子转矩对应的平衡方程：

(2)

(3)

式中，j=a,b,c;k=a,b,c;j≠k，ua、ia、Ra即对应的电压、电流和电阻；其中,J为总惯量(kg·cm)；D为阻尼粘滞系数；T1为电磁转矩(N·cm)；T2为负载转矩(N·cm)；Lij为各相自感(mH)；Ljk为各相互感(mH)。系统中以三相混合式步进电机的输入信号为脉冲信号，θ1是设定的旋转角，θ2则为三相混合式步进电机工作中的旋转角。θ2在电机工作过程中产生新平衡点处进行振荡，根据小振荡理论，得到三相混合式步进电机传递函数：

(4)

同时以三相混合式步进电机a相作为参考相，得到绕组a、b、c相的相电压平衡方程式为：

(5)

(6)

(7)

转子转矩平衡方程为：

(8)

设三相混合式电机为单相励磁，以a-b-c-a相依次通电，T2=0，由式(2)、式(8)可得出三相混合式步进电机对应的运动参数方程为：

(9)

(10)

由于δθ=θ2-θ1，θ2-θ1值几乎为零，因此增量可忽略不计，可对其线性化处理，由式(10)可得：

(11)

将式(11)经过Laplace Transform得：

(12)

三相混合式步进电机参数如表1所示。将表1中参数代入式(12)，可得：

(13)

表1 三相混合式步进电机参数表86系列常用电机齿数Zr转动惯量J/Kg·cm2阻尼黏滞系数D感抗L/mH相电流ia步距角θ/°863S22401.30.072.451.2

2 混合式步进电机模糊PID控制器设计

2.1 模糊PID原理

模糊控制系统是将数学理论与模糊语言联系起来，并进行逻辑推理的一种可知方法。在模糊控制系统中，通过模糊控制器将系统中的自然逻辑语言转化为处理器能够辨识的算法语言，同时计算机对闭环控制系统进行辅助计算和反馈[8]。模糊PID控制的输入是根据系统设定的理想值与系统实际工作值之间的偏差e以及偏差变化率ec，以PID中3个环节对应的参数Kp、Ki、Kd为输出。在模糊控制器中按照操作人员长期积累的实践经验形成的模糊规则将输入值进行模糊化，得出不同时刻输入值对应的参数优化整定值。用模糊控制对混合式步进电机进行控制是较为先进的一种控制方式，因混合式步进电机的调速系统较复杂，且伴随大量非线性环节，这使得传统的PID控制在一些控制要求较高时，并不能很好地满足。因此，研究采用模糊控制算法与PID控制结合的方法对步进电机进行控制，以达到较快响应和较高稳定性的要求，对应的混合式步进电机模糊PID系统框图如图1所示。

图1 混合式步进电机模糊PID框图

2.2 模糊PID控制器设计

(1)模糊控制器的选择。研究以混合式步进电机实际工作转速值与设定的理想工作转速值之间的偏差值e和与之对应的偏差变化率ec为控制器输入，即控制器输入变量只有两个。在常用的模糊控制器中有一维模糊控制器和二维模糊控制器[9]，一维模糊控制器系统动态性能较差，其输入量只有一项，而二维模糊控制器的输入量数与输出量数分别为2和1，可以很好地反映系统特性。输入量为两个可以较好地反映系统特性，因此，研究采用二维模糊控制器。

(2)确定控制器的隶属函数。根据控制系统的逻辑信息相互结合的一个客观过程，为研究方便，选用常用的三角型隶属函数[10]，其特点在于函数的形状由其线性斜率决定，可更加直观地分析研究对象，同时计算方便。该隶属函数可由3个参数表示其形状，可描述为：

(14)

(3)语言变量的确定。经控制算法运算，设ΔKP、ΔKi、ΔKd为输出控制增量，同时电机工作转速偏差e与转速偏差率ec的模糊PID输入范围为[-3,3]。研究设计的模糊PID控制器以电机工作转速与设定理想工作转速的偏差e与偏差率ec为输入，设置相应语言变量的模糊集子集均为{NBNMNSZDPSPMPB}，设e与ec的论域均为[-3,-2,-1,0,1,2,3]，Kp、Ki、Kd论域也设为[-3,-2,-1,0,1,2,3]，其模糊集子集也定为{NBNMNSZDPSPMPB}。在Matlab输入Fuzzy命令，调用Fuzzy Logic工具箱确定相应的各模糊控制变量对应的隶属函数如图2所示。

图2 隶属度函数设定

(4)参数整定原则与模糊规则确定。研究设计混合式步进电机模糊PID控制器是首先给电机设定一个理想工作转速值，再将电机实际工作的转速值与设定的理想转速值之间的偏差e作为控制系统的偏差，其偏差e与偏差变化率ec即为输入，而电机在实际工作过程中需将电机的工作速度尽可能地接近理想工作速度，因此需要根据专家经验设计相应的模糊规则。相应的参数整定规则如下：

①Kp是控制器的比例环节，对系统调节速度具有正向增益关系，即系统响应速度越快，Kp应取值越大。但Kp不能取值过大，过大将使系统超调量也随之增大，导致系统稳定性降低。一般步进电机的工作转速与理想工作转速差值的绝对值(偏差e)较大或较小时，Kp值应取较大值。

②Ki是控制器积分环节，积分环节在系统调节初阶段易出现积分饱和，此时Ki应取小值。而步进电机工作转速与设定的理想工作转速差值的绝对值(偏差e)较大或较小时，Ki取较大值，基于此保证系统稳定性。

③Kd是控制器微分环节，其决定系统动态特性，Kd不宜过大，过大将导致系统调节时间加长，抗干扰能力下降。当步进电机工作转速与设定的理想工作转速差值的绝对值(偏差e)较大时，Kd应取较小，以降低超调量。若步进电机工作转速偏差变化率较大时，Kd也应取较小。

因此需要根据比例、积分、微分环节3个参数与偏差和偏差变化率之间的关系来进行PID参数的整定。根据工程实际操作者的经验与控制知识，确定堆垛机模糊控制器的模糊控制规则表[11]如表2所示。可对参数Kp、Ki、Kd进行在线调整，其中Kp0、Ki0、Kd0为模糊PID参数整定的初始值，其与传统PID控制中的参数一致，通过试凑法将Kp0、Ki0、Kd0对应的初始值分别取1.9、8.9、2.8，ΔKp、ΔKi、ΔKd是模糊控制器对应参数调整量，得出整定后的模糊PID参数为：

(15)

2.3 模糊推理及解模糊

通过Fuzzy Logic工具箱中的Rule Editor模块编写规则表。模糊控制器模糊语句采用“IfAandBthenCandDandE”。将表2模糊规则写入Rule Editor，形成49条模糊控制语句。依据这些控制规则语句对系统进行模糊控制。在Ruler Editor模块编写完成后，通过Mamdani法进行推理，推理结果如图3所示。当e=1，ec=2时，Kp=-1.35，Ki=1.35，Kd=0.218。同时，e、ec的变化对应的Kp、Ki、Kd影响关系图分别如图4、图5、图6所示。将fis文件命名为“Test1”保存在工作空间中。

图3 采用Mamdani法推理过程 图4 Kp对应关系图

图5 Ki对应关系图 图6 Kd对应关系图

3 系统仿真

在Matlab命令窗口栏中输入“Test1=readfis(‘Test’)”命令，将之前设计的模糊控制器与Simulink连接，根据上述分析与混合式电机数学建模得出的传递函数，在Simulink中添加微分模块、积分模块、比例模块、模糊控制器模块、传递函数模块、示波器模块等，按照模糊PID原理将各模块对应相连接起来，建立步进电机模糊PID控制系统模型框图如图7所示，其中，e、ec对应的量化因子Ke、Kec分别是0.1和0.2，比例因子Ku是3。生成经过模糊控制器整定后的Kp、Ki、Kd结果如图8、图9、图10所示。仿真结果对比如图11所示。在图11中，虚线为传统PID控制下步进电机阶跃响应仿真结果，实线为模糊PID控制下步进电机阶跃响应仿真结果。由图11中可以看出，在同一工作环境下，模糊PID控制输出响应快且较为稳定，在约3 s时系统趋向稳定，上升时间约0.8 s，超调量约21%。而传统PID控制，响应时间较慢，在约10 s才趋向稳定，系统上升时间约1.8 s，超调量约41%。因此，模糊PID控制较传统PID控制，其响应速度更快、超调量更小，平稳性与稳定性能更强。

图7 混合式步进电机PID控制器Simulink仿真框图

图8 整定后Kp 图9 整定后Ki

图10 整定后Kd 图11 仿真对比图

4 结论

以三相混合式步进电机作为研究对象，建立相应数学模型，得到对应的传递函数。利用Fuzzy Control工具箱设计了混合式步进电机模糊PID控制器，实现了对控制器PID参数Kp、Ki、Kd的实时调整，并在Simulink中完成仿真验证，将模糊PID与传统PID进行对比，结果表明模糊PID控制各方面性能指标都较传统PID好，验证了设计的模糊PID控制器在混合式步进电机控制应用中的优越性，具有一定的实际应用价值。