基于区间数组合赋权的水库调度方案评价研究

邱 颖，王丽萍，阎晓冉，纪昌明，张验科

(华北电力大学可再生能源学院，北京 102206)

随着社会经济的快速发展，多指标评价问题广泛应用于经济、管理、工程和军事等领域中，已成为国内外的研究热点。而各指标权重的确定在多指标评价问题中非常重要，因为其可以影响到多指标评价的准确性和可靠性。对于指标属性值为具体精确数值的情况，指标权重的确定方法已经有了丰富的研究成果[1-6]，其主要分为主观赋权法和客观赋权法两类，但由于单一的赋权方法不可避免存在自身的局限性，因此，综合考虑指标主客观信息的组合赋权法应运而生。Sahoo M等[7]采将3种主客观赋权得到的权重进行加权组合，将组合权重应用到地下水脆弱性评价中；纪昌明等[8]从矩估计法出发提出组合赋权方法，再结合灰靶模型建立基于矩估计组合权重的灰靶模型。但由于客观事物的复杂性和人们认知能力的限制，在解决某些实际问题时，指标值无法具体给出，往往采用区间数来表征指标的属性值。曾乐宏等[9]对以区间数表征的指标采用专家打分法确定权重，再利用灰靶模型对智能变电站的建设方案进行综合评价；梁燕华等[10]则根据层次分析法对评价指标进行主观赋权，建立基于区间数的多时点多属性灰靶决策模型；郭秀英等[11]利用各方案区间数指标值之间的离差提出了一种指标权重确定的方法。

目前对区间数指标权重的确定大多只有主观赋权，这就忽略了指标本身所提供的客观信息。而少数的客观赋权方法中也大多只从指标区间的上下界入手，没有考虑指标区间内部数据序列可能存在的多样性，从而影响了评价结果的科学性。因此，本文首先综合考虑区间数本身的计算性质和区间数内部数据序列的分布，利用区间数比较的可能度和数据序列分布的变异系数，提出了两种客观赋权的方法；其次引入衡量数据差异性的卡方距离，对区间数评价指标进行组合赋权，使指标权重兼顾主客观信息，为区间数组合赋权提供新思路；再者引入一种直观形象、计算简单的评价方法----雷达图法，提出了基于雷达图法的水库调度方案评价方法；最后将基于区间数的组合赋权方法和雷达图法应用到溪洛渡、向家坝、三峡梯级水库洪水资源利用效果评价中，与TOPSIS法进行对比分析，验证了其在水库调度评价中的合理性和可行性。

1 主观权重计算

1.1 层次分析法

20世纪70年代，美国运筹学家T.L.Saaty教授提出层次分析法(Analytic hierarchy process，简称AHP法)。这种方法用目标、准则、方案等层次结构分析复杂的系统问题，将分析者对复杂系统的分析思维过程模型化、数量化，具有灵活简洁的特点，是一种被广泛采用而有效地进行综合评价、决策分析的方法。

1.2 G1法(序关系分析法)

G1法是东北大学郭亚东教授提出的一种赋权方法，该方法不限制影响元素的个数，计算量偏小，易于应用，适用于指标多、规模大的系统问题。其计算步骤包括：确定序关系、确定相对重要度以及确定权重系数。

1.3 专家支持程度判断

依据上述两种主观赋权方法得到一系列评价指标的n组主观权重，其过程中不可避免会因为各位专家的专业知识水平、对被评价对象的熟悉程度、经验、个人偏好等因素影响权重结果，进而影响评价结果。因此，要通过衡量不同专家对各指标权重判断的偏差程度，对各位专家给出的主观权重进行筛选。

本文采用矩阵融合度求取每位专家所给权重的综合支持程度[12]，以此为依据剔除存在较大误差的主观权重。对于任何给定的正定矩阵A，矩阵B和矩阵C的融合度为：

d=[(B-C)A(B-C)T]1/2

(1)

d的数值越小，说明矩阵B和矩阵C之间的偏差越小。

dtk=[(Wt-Wk)A(Wt-Wk)T]1/2

(2)

由上式可得dtt=0，为方便下一步计算，可设dtt为任一给定的常数，但注意，该常数应比dtk(t≠k)小得多。dtk的值越小，说明第t个专家所确定的权重被第k个专家所支持的程度越高，由此可以得出可以度量第k个专家对第t个专家支持程度的ctk。

ctk=1/dtkt,k=1,2,…,T

(3)

由此可以构造出T位专家的支持矩阵C。记C的最大特征值为λ，其对应的特征向量为V=(v1,v2,…,vT)。因为C是非负矩阵，所以最大特征值λ>0，其对应的特征向量的各分量也都大于0，由此可得到第t个专家对各项评价指标所确定的主观权重的综合支持程度为：

(4)

如果某位专家的综合支持程度zt越小，说明该专家对各项评价指标的权重判断存在较大的偏差，需要将其筛除。筛选后留下的主观权重的个数由参与评价的总专家数确定，本文留取总专家数的1/3。

2 客观权重计算

2.1 基于区间数可能度的指标权重确定

(5)

(6)

若指标qj为效益型指标，则：

(7)

(8)

若指标为成本型指标，则：

(9)

(10)

(11)

(12)

由此得到标准化矩阵：

(13)

(14)

(15)

2.2 基于区间数变异系数的指标权重确定

当各评价指标的属性值为实数时，传统变异系数法[14,15]求得不同方案下各指标的平均数和标准差，进而求得变异系数，最终得到权重，考虑的是某项指标在所有方案上的属性值的变异程度。

δij=E(x)ij/σij

(16)

那么，指标qj的总体变异系数为：

(17)

3 基于卡方距离的组合赋权计算

本文采用加权组合法进行组合赋权，采用卡方距离的思想，寻找组合权重与各个权重之间的距离，使距离之和达到最小，尽可能包含每组权重所提供的信息。卡方距离是根据卡方统计量得出的，衡量数据之间的差异性，卡方距离越大，数据之间的差异性越大。卡方距离已经被应用到很多衡量数据差异性的问题中[16,17]，并且都取得了很好的效果。设两个n维向量x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)，则两者之间的卡方距离为：

(18)

(19)

基于卡方距离的组合赋权的优化问题为：

(20)

4 雷达图法

雷达图法是基于导航雷达显示屏上的图形而构建的一种多变量对比分析技术[18]。雷达图法主要应用于交通、灾害防治、金融等领域的风险集成工作中，而在水利行业中应用较少。将该方法应用在水库调度方案评价中，将各项指标之间的数量关系用图形的方式表达出来，直观形象，评价过程简单。水库调度方案评价体系中有n个评价指标，雷达图法的基本步骤如下：

(2)把某一方案的指标值标准化后在指标轴上标出每一个点，按照顺序把指标轴上的每个点和扇形区域的外围点连接起来就可得到该方案的雷达图，5个评价指标的雷达图如图1所示。

图1 用于多指标评价的雷达图Fig.1 Radar Chart for multi-indicator assessment

(3)计算所形成的图形的面积和周长，面积越大说明该方案的整体优势越大；面积一定时，周长越小，说明该方案的各个指标发展越平衡，由此对水库调度方案进行综合评价。

综上所述，基于区间数组合赋权的水库调度方案评价的计算流程如图2所示。

图2 基于区间数组合赋权的水库调度方案评价流程Fig.2 Process of reservoir operation schemes assessment based on interval-number combination weighting

5 实例分析

以溪洛渡、向家坝、三峡梯级水库汛末提前蓄水为例，对梯级水库洪水资源利用效果进行评价。溪洛渡、向家坝水库投产后，增强了对流域径流的调蓄能力，但也加大了三峡水库汛后兴利蓄水的压力。因此在保证流域一定防洪安全的前提下，实现提前蓄水，提高洪水资源利用效率是非常重要的。

按照规划设计，溪洛渡、向家坝水库汛末蓄水起始时间均为9月11日，分别从560、370 m开始蓄水，并控制9月20日蓄水位不超过600、380 m；三峡水库蓄水起始时间为9月10日，并控制9月30日蓄水位不超过162 m。将上述方案(方案1)作为原始方案，并参考《金沙江溪洛渡、向家坝水库与三峡水库联合调度研究报告》设置15个比较方案，形成评价方案集S={s1,s2,…,s16}，各方案具体设置情况见表1。选取防洪风险率Rf(%)、防洪风险损失Rs(%)、年发电量Ea(亿kWh)、弃水机会损失Eq(亿kWh)和生态效益Be(%)作为评价指标。其中防洪风险率和防洪风险损失通过采用蒙特卡罗法模拟200组1000场设计标准的洪水计算得到，年发电量、弃水机会损失和生态效益采用1952-2011年共60年的实测入库径流资料运用动态规划法调度计算得到。

首先要将单库评价指标转换为库群评价指标，文献[19]根据指标的物理量特性，可将指标分为可加性指标、半可加性指标与不可加性指标。防洪风险率和防洪风险损失是不可加性指标，库群指标应该为所有单库指标中的最大者。年发电量和弃水机会损失属于可加性指标，可通过代数相加得到库群指标。生态效益属于半可加性指标，可以通过加权求和得到库群指标。方案计算时未计算溪洛渡、向家坝水库的生态效益，故在转化时，溪洛渡、向家坝水库的权重均为0，三峡水库的权重为1。

表1 溪洛渡、向家坝、三峡梯级水库汛末提前蓄水方案设置表Tab.1 Ahead-of-plan impoundment schemes of Xiluodu, Xiangjiaba and the Three Gorges cascade reservoirs

综上所述，得到各方案对指标集的属性值矩阵X。

RfRsEaEqBe

5.1 主观权重计算

共有6位专家参与主观赋权，其中3位专家采用层次分析法，另3位采用G1法，各位专家确定的主观权重见表2。

表2 6位专家确定的主观权重Tab.2 Subjective weight of 6 professors

由式(2)可得6组主观权重之间的融合度形成的矩阵为D，且为了方便下一步计算，其中设dtt=0.01(t=1,2,3,4,5,6)，根据式(3)计算每个专家之间的支持程度，形成支持矩阵C。

支持矩阵C的最大特征量λ=122.715，其对应的特征向量为V=(0.303 6,0.308 4,0.378 4,0.498 6,0.499 4,0.414 4)。根据式(4)可得每位专家的综合支持程度为z=(0.126 4,0.128 3,0.157 5,0.207 5,0.207 8,0.172 5)。本文规定仅留取总专家数的1/3，也就是2位专家所确定的主观权重，根据综合支持程度可得到两组主观权重为W1=(0.229,0.191,0.229,0.160,0.191)和W2=(0.202,0.243,0.291,0.144,0.120)。

5.2 客观权重计算

5.2.1 基于区间数可能度的指标权重计算

防洪风险率、防洪风险损失和弃水机会损失是成本型指标，年发电量和生态效益是效益型指标，根据公式(7)～(12)对指标属性值矩阵X进行标准化处理，得到标准化矩阵R。

RfRsEaEqBe

将各方案指标属性值标准化后的区间数两两比较，根据式(5)进行可能度计算，建立每一个方案的可能度矩阵。本文仅列出方案1、方案5以及方案16的可能度矩阵P1、P5和P16。

根据式(14)求解每个可能度矩阵的排序向量，形成矩阵E。根据式(15)将排序向量中各指标对应的分量求平均，则可得到各评价指标整体的排序向量为G=(0.251,0.250,0.162,0.170,0.167)，则可得到根据区间数可能度计算得到的客观权重为W3=(0.251,0.250,0.162,0.170,0.167)。

5.2.2 基于区间数变异系数的指标权重计算

对16个方案防洪风险率、防洪风险损失、年发电量、弃水机会损失和生态效益的数据序列采用正态分布进行拟合，并采用K-S检验法进行拟合检验。表3列出了16个方案下5个指标区间分布的检验统计量，检验结果表明5个指标的区间分布都通过了置信度为0.05的K-S检验，数据拟合效果较好。

表3 各指标在不同方案下的检验统计量Tab.3 Test statistics of indicators in different schemes

根据拟合之后的结果得到16个方案中各指标的期望值和标准差，根据式(16)和式(17)可得到每个指标的总的变异系数为0.061、0.024、0.019、0.032和0.002，归一化后则得到一组客观权重为W4=(0.442,0.176,0.139,0.231,0.012)。

5.3 基于卡方距离的组合赋权计算

由上述计算得到的主客观权重见表4，根据式(20)可得，基于卡方距离的组合赋权的优化问题为：

(21)

表4 参与组合赋权的主客观权重Tab.4 Subjective and objective weights for combination weighting

采用枚举法对此优化问题进行求解，最终得到加权系数αl分别为0.28、0.25、0.19和0.28，组合权重为W*=(0.281,0.218,0.205,0.176,0.120)。

5.4 雷达图法

根据5个指标的组合权重，可得到各指标对应的扇形区域的夹角分别为101.13°、78.62°、73.83°、63.36°和43.06°。将经过分布拟合得到的数据序列的期望作为指标值，标准化后在指标轴上形成数据点，即可得到该方案的雷达图。由于篇幅限制，仅列出方案5和方案15的雷达图，见图3和图4。为了检验基于雷达图法的水库调度方案评价的可行性，本文采用了逼近理想点法(简称TOPSIS法)对研究结果进行检验，表5列出了雷达图法和TOPSIS法的评价结果，两种方法的方案排序如表6所示。

表5 雷达图法及TOPSIS法评价结果对比Tab.5 Results comparison of radar chart method and TOPSIS

表6 雷达图法及TOPSIS法方案排序Tab.6 Schemes ranking of radar chart method and TOPSIS

图3 方案5的雷达图Fig.3 The Radar Chart of scheme 5

图4 方案15的雷达图Fig.4 The Radar Chart of scheme 15

5.5 结果分析

由表5可得，雷达图法与TOPSIS法的评价结果较为一致。两者的评价结果中，排序前五的方案是相同的且顺序相同，均为方案15、方案8、方案4、方案10、方案14。两个评价结果排在第六至第八的方案都是方案13、方案2和方案12，虽然具体排序有一些差异，但是差异并不明显。

从方案调度结果来看，排序靠前的5个方案在洪水资源利用过程中的防洪风险均为0，能够保证水库群的防洪安全；并且能够充分利用汛末的洪水资源，明显提升梯级水库的发电、生态效益。而方案15中将三峡水库9月30日控制蓄水位抬高到165 m，虽然弃水机会损失有小幅增加，但年发电量明显增加，提高了洪水资源的利用效率，因此方案15排序第一。通过对比分析可知，雷达图法运用到水库调度方案评价中是合理可行的。

对两种方法评价结果的灵敏度进行对比分析，灵敏度值越大，评价效果越好，由此来比较两种方法的区分度和优越性。根据文献[20]中灵敏度计算公式可得，雷达图法评价结果的灵敏度为0.026，TOPSIS法评价结果的灵敏度是0.020，雷达图法的灵敏度值更大，具有更好的区分度和评价效果，而且从方法的具体评价过程上看，雷达图法更为直观具体。综上，雷达图法比TOPSIS法更优。

6 结 语

本文引入区间数比较的可能度和数据序列变异系数确定各评价指标的客观权重，弥补了区间数客观赋权只考虑区间上下界的不足，综合考虑了区间数本身的性质和区间内部数据的分布情况；计算了每位专家所确定的主观权重的综合支持程度，以此衡量其准确性，剔除与其他专家相差较大的权重，减少了由于人为主观判断产生的误差，保证了专家的评判精度；引入卡方距离，将确定的主客观权重进行组合，兼顾了指标所提供的主客观信息，进而使评价结果更加客观和全面。基于区间数的组合赋权为区间数多指标评价中指标权重的确定提供了新思路。

将雷达图法应用到溪洛渡、向家坝、三峡梯级水库洪水资源利用效果评价中，利用最终组合权重确定每项指标的扇形夹角，对三库汛末提前蓄水的方案进行评价排序，并与TOPSIS法的评价结果进行比较分析，验证了雷达图法运用到水库调度方案评价中的合理性和可行性。