多角度探究解析几何的应用研究

白天羽

摘 要：解析几何是通过建立坐标系来用解析式研究几何问题的一门几何学分支，其本质是利用平面直角坐标系与方程的关系，建立几何和代数问题相互转化的关系，也就是变量的表示方法。因此，解析几何与其它研究变量之间关联的数学分支都有密切的联系，探究它们的联系，可以更好地在数学研究中做到举一反三。在此基础上，本文从微积分、向量和行列式等角度探析了这些关系，以更好地理解解析几何的实质。

关键词：解析几何；微积分；向量；行列式；线性代数

中图分类号：O182 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）05-0255-02

0 引言

解析几何是通过建立坐标系来用解析式研究几何问题的一门几何学分支，主要由笛卡尔和费马创立并发展。十六世纪左右，随着生产和科学技术的发展，原有的几何学知识无法应用在许多新的发现中。例如：天文学家开普勒发现行星运行的轨道是椭圆形，伽利略发现被抛出的物体的运动轨迹是抛物线，这些曲线都不是以前的几何学可以分析的，因此迫切需要一套新的几何方法来探究其性质。应运而生的则是笛卡尔的《几何学》，其中笛卡尔的中心思想是建立起一种把代数和几何统一起来的工具，即把任何数学问题化为一个代数问题，进而归结到去解一个方程式。而在此当中联系几何和代数的是坐标系，在坐标系引入过程中笛卡尔的想法并不是偶然的，之前也有人提出了可由两个数字“坐标”（经度和纬度）来确定一个点的位置的思想，以对天文和地理问题进行研究。

解析几何的创立开拓了数学的一个全新发展领域，进而推动了近代科学技术的发展。解析几何的引入使得运动和变化进入到数学，微积分和牛顿力学被发明，科学和哲学也在其基础上有了进一步突破和发展。由此可见，解析几何并不是一个孤立的学科，而是一种实用的研究方法和思想，它和很多数学、科学分支学科都有极大的关联。本文分析解析几何与其它几个数学分支的联系，以更好的理解解析几何的思想方法，对数学的方法论有更深刻的认识。

1 微积分与解析几何的关系

微积分是高等数学的重要组成部分。从初等数学到高等数学的过渡，其核心在于“极限”的概念。例如，曲线在x0处的切线的定义是割线在x→x0时的极限位置，导数的定义也建立在Δx趋于0的条件下。而在极限的定义中，我们说变量y趋近于a，即y→a，是一个变量对于一个常量的一种关系[1]。由此可见，高等数学建立在对变量和常量关系的进一步研究中，而关于变量与常量的讨论又是解析几何的核心思想。

在笛卡尔的理论中，首先建立坐标，进而将平面上的点和一对未知数联系起来，然后在点动成线的思想下，用方程来表示曲线，只要在最后的方程中出现两个未知量就能得到一条轨迹，开创了应用方程来研究轨迹的思想[2]。由此可见，代数的主要研究对象未知数在解析几何中变成了变量，变量之间的关系变成了解析式。在解析几何的基础上，微积分对变量之间的关系有了更深入的探究：求导和积分都是对两个变量关系的探究，引入另一个变量来刻画函数关系。微积分是解析几何的发展，解析几何是初等数学到高等数学的过渡，二者都是对变量关系的刻画方法。

有了微积分，解析几何中的一些问题就可以轻松地解决。求导重新定义了切线，使得求坐标系中曲线的切线有了一种新的方法，不再需要用平面幾何的定义来进行求解。定积分对曲线围成的面积有了代数上的定义，提供了这类问题的解决方法。又如函数的画图：有些函数单凭描点作图很难画得精确，而求导之后用几个点就可以反映函数的关键特征，进而可以相当准确地绘出图像。由此可见，微积分是解析几何的发展，对一些坐标系中的问题有了新的认识，它的思想方法应用在解析几何中，也能为进一步解决问题提供新的思路。

2 向量在解析几何中的应用

数学中的向量和物理中的矢量是指具有大小和方向的量，在坐标系中能把向量以数对形式表示。在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，作为一组基底，为任意向量，以坐标原点O为起点，P为终点作向量。把实数对（x，y）叫做向量的坐标，记作= （x，y）。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x，y），使得，因此向量可以和有序实数对一一对应，也就可以和平面直角坐标系中的点一一对应，在空间直角坐标系中亦是如此。由此，向量通过有序实数对与坐标系联系了起来，也就代表着它可以应用在解析几何中。向量为几何问题的代数化提供了一种方法，以下将从两方面进行分析。

2.1 平行和垂直问题

在几何学中证明平行或垂直，以及对平行或垂直的条件的应用都是根据几何定理来解决的，如四边形的性质定理和勾股定理等。而在解析几何中，运用向量的知识可以用代数方法来解决问题。由向量的定理可知，若=（x，y），=（m，n），则等价于xn-ym=0；⊥的等价于·=0，即xn+ym=0。这就给使得许多几何问题可以转化为代数问题。如例1所示：

例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如图1所示的坐标系。

确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P。

分析：在对这道题目进行解决的时候，由于几何内容中涉及到了向量的关系，所以这时可以对向量进行坐标化的发展，将问题转化为与点相关的坐标问题。

解答：设|BP|=t，则P（2，t，0）

∵QB1·PD1=0，∴t=1。

即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1Q⊥D1P。

在这道题中，向量与有序实数对的对应使得垂直问题转化为了代数中的解方程，变成了一个运算问题。而若是用几何方法进行推导和证明，问题就会复杂许多。

2.2 角度问题

在向量中，可以利用向量的数量积解决角度的计算问题。向量的数量积的定义：已知两个非零向量，，作OA=，OB=，则∠AOB称作向量和向量的夹角，记作θ。两个向量的数量积是一个数量，记作·，等于||·||·cosθ。而在坐标系中，若=（x，y），=（m，n），可证·=xm+bn。它可以应用于许多与夹角相关的问题中，如例题2所示：

例2：如图2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，|AC|=2a，|BB1|=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点。

求直线BE与A1C所成的角。

解答：

以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

∵|AC|=2a，∠ABC=90°，

∴|AB|=|BC|=a

C（0，a，0），A（a，0，0），A1（a，0，3a），C1（0，a，3a），B1（0，0，3a），D（a，a，3a），E（0，a，a）

∴=（a，-a，3a），=（0，a，a）.

∴|CA1|=a，|BE|=a

∴·=0-a2+a2=a2

∴cosθ==

故BE与A1C所成的角大小为arccos。

在这道例题中，直观上没有关联的两条线的夹角并不好通过几何方法求出来，而向量的方法巧妙地将其转化为了两个左边的问题，进而变成解方程的问题。由此可见，向量在解析几何的问题中提供了几何与坐标、乃至方程之间转化的方法，将很多几何上不好解决的问题转化为了解方程的计算问题。

3 行列式在解析几何中的应用

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，是一种数学上的结构化语言。由于它的本质实际上是方程组的解的一种排列方式，而方程组是解析几何中解析式的变形，所以矩阵本身在解析几何中也能發挥很大的作用。如关于平面图形的面积：

定理：已知ΔABC在平面直角坐标系中的三顶点坐标：A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3）则：

SΔABC=

由此可得出推论：在平面直角坐标系中的三点：A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3）共线的充要条件是=0[3]。

4 结语

解析几何本质上是利用平面直角坐标系与方程的关系，建立几何和代数问题相互转化的关系。由此可知，其它与变量有关的数学问题，都是可以和解析几何密切相关的。在上面的分析中我们发现，微积分是解析几何的发展，向量是解析几何的工具，行列式作为方程组的解的表达方法，也是解析几何的延申拓展及使用工具。理解解析几何和其他数学分支的关系，可以更好地理解解析几何数形结合的思想，做到举一反三。

参考文献

[1] 刘晓兰.从解析几何到微积分——谈微积分的实质与教学[J].丹东纷专学报，1996（1）：68-69.

[2] 曹泽.解析几何的创立及其在近代科学认识上的作用[J].安阳大学学报，2003（3）：59-61.

[3] 黄莉，汤茂林.行列式在解析几何中的应用[J].贵阳学院学报（自然科学版），2014（1）：42-44.