对两道立体几何高考题的探析及教学思考

山东 尹承利 范正和

在同一年高考的全国卷及各省试卷中，考查相同知识点且背景类似的考题可谓比比皆是，但几乎一样的试题却出现在两份试卷中，这样的情况颇为罕见.2018年高考数学天津卷理科第11题和江苏卷第10题撞脸成“一家亲”，着实让我们对命题者们的独具匠心和不谋而合感到叹服！在惊叹命题者们“心有灵犀”的同时，去探析高考试题的变式，进而在“变”的过程中揭示问题的数学本质，实属必要.

一、试题再现

题1.(2018·天津卷·理11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图1)，则四棱锥M-EFGH的体积为________.

图1

题2.(2018·江苏卷理·10)如图2所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.

图2

分析：题2只是将题1扩展了一下，在原四棱锥的基础上，“倒补”上了一个底面重合的“全等”的四棱锥，其本质上为一题.

解析：

点评：这两道高考题文字表述流畅、图形优美，通过研究多面体“接”的组合关系，意在考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养，较好地反映了立体几何问题的数学本质.

二、变式探析

思考1.图2中的多面体显然是两个相同的图1中的四棱锥的“合体”，如果所在正方体的棱长相同，则图2中多面体的体积是图1中四棱锥体积的2倍，这是毋庸置疑的.而图1中的四棱锥的表面积和图2中多面体的表面积，就不能这样类比了，应看到相互间的“差异”.

变式1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图1)，则四棱锥M-EFGH的表面积为________.

变式2.如图2所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为________.

点评：变式2多面体的表面积只是两个四棱锥的侧面积之和，而不是两个四棱锥表面积之和，所以不要加底面的面积.

思考2.图1中的四棱锥和图2中的多面体的外接球是怎样的情形呢？若求的是外接球的体积或表面积，则有如下变式.

变式3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图1)，则四棱锥M-EFGH外接球的体积为________.

变式4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图1)，则四棱锥M-EFGH外接球的表面积为________.

变式5.如图2所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的外接球的体积为________.

变式6.如图2所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的外接球的表面积为________.

思考3.图1中的四棱锥和图2中的多面体的内切球又会是怎样的情形呢？又如何求内切球的体积或表面积呢？

变式7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图1)，则四棱锥M-EFGH内切球的体积为________.

变式8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图1)，则四棱锥M-EFGH内切球的表面积为________.

变式7、8解析：求内切球的体积或表面积的关键是求出内切球的半径，这里需要“分割”后运用等体积法求内切球的半径.

设四棱锥内切球的半径为r1，连接球心和四棱锥的各个顶点，则将四棱锥“分割”为3个体积相等的小三棱锥和1个小四棱锥.

变式9.如图2所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的内切球的体积为________.

变式10.如图2所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的内切球的表面积为________.

变式9、10解析：求内切球的体积或表面积的关键是求出内切球的半径，这里需要“分割”后运用等体积法求内切球的半径.

思考4.若将问题转化为求空间角，则有如下变式.

变式11.如图3所示，正方体的棱长为1，以其所有面的中心为顶点的多面体为ABCDEF，则异面直线DE与CF所成的角为________.

解法1.由题意，该多面体所有棱的长均相等，且点E，C，F，A在同一个平面上，即四边形ECFA为菱形.

所以EA∥CF，故相交直线DE与EA所成的角就是异面直线DE与CF所成的角.

由△ADE为正三角形，得直线DE与EA所成的角为60°.

因此，异面直线DE与CF所成的角为60°.

解法2.如图4，设直线CA和DB相交于点O.

依题意，直线CA，DB，EF两两垂直，且相交于O，分别以CA，DB，FE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.

因为异面直线DE与CF所成的角为锐角，故异面直线DE与CF所成的角为60°.

思考5.若多面体的各顶点不在正方体各个面的中心，那么多面体的体积将会是什么情形呢？结合“新定义”信息，则有如下变式.

变式12.两个相同的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心)底面重合组成一个八面体，可放入棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.

问此“正子体”的体积V是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围.

解析：“正子体”的体积不是定值.

设正四棱锥底面正方形为ABCD，正方体的截面四边形为A′B′C′D′，

点评：变式12是一道融空间线面关系、空间角、几何体体积、二次函数、新定义信息等多个知识点于一体的探索性综合题，背景颇为新颖.它从基本知识出发，形成知识综合点，进而抵达思维制高点(新定义信息、探索性)，凸显了立体几何问题的本质.

三、思维拓展

我们再回归到两个高考题，基于题2的情形做一下深度拓展，可得到这类问题的一般性结论.

拓展1.如图2所示，正方体的棱长为2a，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.

拓展2.如图2所示，正方体的棱长为2a，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积与正方体的体积之比为________.

结论2.在正方体中，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积与正方体的体积之比为1∶6.

拓展3.如图2所示，正方体的棱长为2a，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为________.

拓展4.如图2所示，正方体的棱长为2a，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积与正方体的表面积之比为________.

四、教学思考

1.立体几何是数学的重要内容之一，它在形成同学们的空间观念、培养空间想象能力和巩固逻辑思维能力方面有着其他内容无法替代的独特作用，是历年高考考查的重点.求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解.

2.高考试题大都蕴含着丰富的内涵，如果我们在教学中充分挖掘其潜在的功能，让学生将所学知识进行灵活运用，并开拓思路，从而做到融会贯通，那么就能揭示问题的本质，发掘知识的内在联系，提高解决问题的能力.