思路不同 用时迥异

马 辉 王金聚

(1. 江苏省丰县中学,江苏 丰县 221700; 2. 浙江省温州中学，浙江 温州 325000)

在求解物理问题时,针对同一道题目,不同的人往往会有不同的思路,不同的思路会产生不同的解法,虽然最终殊途同归,都能求得正确的结果,但不同解法所花费的时间成本往往会有较大的差异.今以高考试题为例,来剖析造成这一时间差别的具体原因.

1 公式法、图像法用时不同

解题时我们最惯常使用的就是公式法,虽然它很常用,但对某一具体问题而言,不一定就是最快、最好的选择.而图像作为一种特殊的数学语言,更能精准展现清晰的物理过程,物理图像中的面积、斜率、截距、交点、最高的、最低点等往往都蕴含着特殊的物理意义,对应着某些特定的物理量或物体的状态,灵活运用图像解题往往能快速、准确地求得结果.

图1

例1.(2018年浙江选考卷第4题)一辆汽车沿平直道路行驶,其v-t图像如图1所示.在t=0到t=40s这段时间内,汽车的位移是

(A) 0. (B) 30 m.

(C) 750 m. (D) 1200 m.

解法1.公式法.

解法2.图像法.

2 常规解法、作图法用时不同

将两个力合成时,本来有两种途径:一是利用公式计算,二是利用平行四边形定则去作图求解．但现行教材中并没有给出求合力的公式,而只是介绍了作图法,这自然就说明了作图法的地位及优越性.因为该法能将物理问题转化为一个几何问题,显得直观形象,便于定性分析,利用作出的图形再结合数学上的几何知识,又可以进行定量计算,这无疑给解题带来了很大的方便.

图2

例2.(2017年全国理综Ⅰ卷第21题)如图2,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N,初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角α(α>90°).现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变,在OM由竖直被拉到水平的过程中

(A)MN上的张力逐渐增大.

(B)MN上的张力先增大后减小.

(C)OM上的张力逐渐增大.

(D)OM上的张力先增大后减小.

解法1.利用正交分解法.

图3

解法2.作图法.

图5

如图5所示,初始时M球所受重力、拉力F1、张力T1围成一矢量△MPF1,作出该三角形的外接圆⊙C,因为α角度不变,所以代表重力mg的边MP的对角π-α也不变,由于同一圆弧所对的圆周角都相等,可知在拉动小球上升的过程中,代表拉力F矢量的箭头顶点会沿外接圆的圆周逆时针方向移动,最终绳OM呈水平状态,即绳OM上的张力T3与重力mg成90°角,此时代表拉力的F3恰处在圆的直径的位置,所以该过程中拉力F是逐渐变大的;而OM上的张力大小从图中的|mg|→T1→T2→T3,容易看出是先变大后变小的.故正确选项为(A)、(D).

点评: 可以看出,利用常规的正交分解法虽然可以做出,但却建立了两次倾斜的坐标系,考生很不适应.若以我们惯常使用的以水平、竖直方向为轴建立坐标系,求解会愈加复杂,用时无疑也会更长.

3 公式法、二级结论法用时不同

例3.(2018年浙江选考卷第13题)如图6所示为某一游戏的局部简化示意图．D为弹射装置,AB是长为21 m的水平轨道,倾斜直轨道BC固定在竖直放置的半径为R=10 m的圆形支架上,B为圆形的最低点,轨道AB与BC平滑连接,且在同一竖直平面内.某次游戏中,无动力小车在弹射装置D的作用下,以v0=10 m/s的速度滑上轨道AB,并恰好能冲到轨道BC的最高点.已知小车在轨道AB上受到的摩擦力为其重量的0.2倍,轨道BC光滑,则小车从A到C的运动时间是

图6

(A) 5 s. (B) 4.8 s.

(C) 4.4 s. (D) 3 s.

解法1.公式法.

小车在水平轨道上时,由0.2mg=ma得加速度大小a=0.2g.设到达B点的速度为v,由v2=v02-2aL得v=4 m/s,由v=v0-a1t1得t1=3 s.

图7

解法2.借助二级结论.

图8

4 基本公式、导出公式用时不同

相当于导出公式而言,基本公式我们更熟悉一些,故在解决问题时我们更容易想到的也是利用基本公式.的确,有些问题利用基本公式确实能够解决,但求解的过程往往臃冗繁杂、费力耗时.但若利用导出公式来解,反倒更加方便快捷,会收到意想不到的效果.

例4.(2011年安徽卷第16题)一物体做匀加速直线运动,通过一段位移Δx所用的时间为t1,紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2,则物体运动的加速度为

解法1.基本公式法.

看到题述中的位移、时间为已知条件,我们自然很容易想到利用位移公式求解.

设物体的初速度为v0,则有

(1)

(2)

由(2)-(1)式得

(3)

由(1)、(3)式得

解法2.导出公式法

5 看问题的角度不同,用时不同

同一物理过程,不同的人可能会有不同的看法.譬如物块沿粗糙的斜面下滑,有人从力和运动的角度去看待,也有人从能量转化的角度去看待.前者会想到利用牛顿运动定律、运动学公式求解,后者则会利用动能定理、能量守恒定律、功能原理等加以解决.因解题的出发点不同,致解题的用时可能会有较大的差异.

图9

例5.(2007年江苏卷第19题)如图9所示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高H,上端套着一个细环.棒和环的质量均为m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1).断开轻绳,棒和环自由下落.假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动能损失.棒在整个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计.求:

(1) 棒第1次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度;

(2) 从断开轻绳到棒与地面第2次碰撞的瞬间,棒运动的路程s;

(3) 从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功W.

解析: (1) 由牛顿第二定律kmg-mg=ma环得a环=(k-1)g,方向竖直向上.

(3) 解法1.运动学公式法.

环相对棒的总位移x=x1+x2+…+xn+…

解法2.功能关系.

设环相对棒滑动距离为l,根据能量守恒有mgH+mg(H+l)=kmgl，

摩擦力对棒及环做的总功W=-kmgl.

可以看出,选择不同的解法,用时各不相同,有的甚至还相去甚远.要想在考场上迅速锁定最简单、快捷的解法,还要靠我们平时日积月累的训练.解题时要做一个有心人,在做每一道题目时,要想想还有没有其他解法?老师是怎样解的?同学们又是怎样解的?他们的解法和自己的有何不同?孰优孰劣?优势在哪?这样思考的多了,经历的多了,功到自然成,到时候多种解法就会自然而然地从脑海里喷涌而出了.