对“规律”失灵的思考

张继攀

[摘 要]学生在运用规律解决问题时，有时会发现“规律”失灵了，无法解决问题。究其原因，并非是学生的学习思维出现了障碍，而是教师教学时出现了“误导”，让学生找不到思维出口。促使学生明白规律的运用原则和运用技巧，是数学教学最需要解决的问题。

[关键词]规律；失灵；思考；小学数学

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0032-02

【源 起】

苏教版教材五年级下册P85思考题：

1.计算下面各题，并找出得数的规律。

[12]+[14]+[18]；[12]+[14]+[18]+[116]；[12]+[14]+[18]+[116]+[132]。

2.应用上面的规律，直接写出下面算式的得数。

[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]=（ ）。

五年级组的数学教师讲解这道题后，在一次综合能力测试中设计了一道题目“[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=？”，学生答题的正确率为9%，做错的学生中采用“1-[164]=[6364]”这一方法的学生占86%。这个结果让很多教师无语。

学生是按照探究思考题所发现的规律进行解答的。为什么还会出错呢？规律为什么失灵了呢？我们不妨回放一下教学现场：教学此思考题时，很多教师一般是先让学生进行通分后计算出结果，再观察结果与加数之间的关系，从而得出规律。学生似乎表面上经历了探究规律的全过程，实质上，这种探究和发现都是源自于数的外部特征的比较，或者说，只是基于几个特例的一种不完全归纳，学生并没有通过深入思考来体会规律存在的合理性和必然性。由此，学生面对形式相似、实质变化的问题情境时，机械应用规律也就是意料之中的事情了。“规律”失灵的背后折射出教学的低效。

【教学改进】

师（出示“[12]+[14]+[18]”）：这些加数有什么特点？

生1：分数的分子都是1。

生2：分母依次乘2。

生3：后一个加数的分母都是前一个加数的2倍。

师：能根据所发现的规律接着往下写几个加数吗？

（学生写出“[12]+[14]+[18]+[116]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]”等）

师：加数是有规律的，和也有规律吗？现以“[12]+[14]+[18]+[116]”为例进行研究。

生4：[12]+[14]+[18]+[116]=[34]+[18]+[116]=[68]+[18]+[116]=[78]+[116]=[1416]+[116]=[1516]。

生5：[12]+[14]+[18]+[116]=[816]+[416]+[216]+[116]=[1516]。

师：这两个同学都是用通分的方法计算的。（出示右图）借助正方形，你能看出结果吗？

生6：我从正方形上看出阴影部分的面积是[12]+[14]+[18]+[116]，也可從单位“1”中减去空白部分[116]，即1-[116]，所以[12]+[14]+[18]+[116]=1-[116] =[1516]。

师：借助图形将复杂的算式转化为一道简单的算式。你的发现很了不起。

生7：两个[116]是一个[18]，两个[18]是一个[14]……如果在算式后面再添一个[116]，正好等于1。因此，这道算式的结果就是1-[116]=[1516]。

师：能根据算式中的规律进行推理，把复杂的算式转化为简单的算式，真聪明！

师：照样子，大家能快速算出其余算式的结果吗？

生8：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]=[3132]。

生9：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=[6364]。

生10：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]=[127128]。

……

师：你们发现了什么规律？

师（总结）：几个几分之一相加，后一个加数的分母都是前一个加数分母的2倍，这个算式的和等于1减去最小一个分数的差。

师（出示“[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”）：这道算式的结果是[6364]，你们同意吗？

生11：同意。这道算式中的加数的分子都是1，后一个加数的分母都是前一个加数分母的2倍，用1减去[164]，就等于[6364]。

生13：我不同意。刚才几道算式是从[12]加起，这里是从[14]加起的。

师：你观察得真仔细。这道题的结果是多少呢？

生13：我是这样想的，如果再添一个[164]，两个[164]是一个[132]，两个[132]是一个[116]……最后两个[14]是一个[12]。因此，这道算式的结果就是[12 ]- [164]=[3164]。

师：对于刚才发现的规律，你们还有什么要补充的？

……

【思 考】

1.为什么要教学“找规律”？

首先，探索规律是培养学生归纳推理能力的有效渠道。上述教学中，学生先尝试探究规律，进而举一反三，最终完善规律。这样，学生经历了不完全归纳推理的全过程，学生的归纳推理能力得到了有效发展。

其次，探索规律是改善学生学习方式的有效途径。学生在探索规律的过程中，由观察加数特征开始，寻求不同方法解决问题。在学生通过观察、猜测、验证、归纳等活动，认真听老师和同学讲，结合自己的思考，初步发现规律、获得积极体验之后，教师有意设置障碍，让学生发现规律居然失灵了，学生的思维被再次激活。学生经历了“发现规律—规律失灵—完善规律”的探究过程，思维得以淋漓尽致地展现。整个教学活动彰显出“找规律”教学的价值。

2.如何引导学生“找规律”？

“找规律”重在“找”，要引导学生在“找”规律的过程中体会规律存在的必然性，从而提高学生探索数学的能力。学生根据开始的三个算式，通过不完全归纳发现规律，再按照发现的规律类比出第四个算式的结果。这样探究，学生只是浅尝辄止，印象不会深刻，出现高错误率也就在所难免。后来的实践中，教师组织学生先观察、比较，初步感受算式的特征，并在写算式中形成“加数有规律，和也有规律吗？”的猜想。待学生自主探索“[12]+[14]+[18]+[116]”的结果后，教师引导学生借助几何直观自主发现规律，利用变式让学生体会发现“规律”的残缺性，从而自觉完善规律。学生找规律的过程具体而又可感，每个学生都获得了探究成功的体验，并且能灵活应用规律解决相似问题，这样，找规律也就不再成为学生的学习难点了。

总之，引导学生从数学现象中总结规律，是学科教学的重要特点和诉求。教师应立足学生思维基础展开针对性引导，让学生顺利进入规律探寻环节，并在具体实践中完成认知检验，形成崭新的学科能力。

（责编 黄春香）