“数量关系”的教学不必犹抱琵琶半遮面

程洪奎

[摘 要]从“应用题”到“解决问题”，不只是名称表述的替换，还是对传统应用题教学的改革。通过客观认识、分析、对待“应用题”和“解决问题”，能深切地感到：数量关系的教学不必犹抱琵琶半遮面。

[关键词]应用题；解决问题；解题策略；数量关系

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0028-02

在当下的小学数学教学中，解题策略的教学越来越常态化，数量关系的教学越来越边缘化。对此，一些教师便走入了误区，认为对解题策略的重视，就是对数量关系的唾弃。于是，在开展“数量关系”教学时犹抱琵琶半遮面，玩起了数学教学“两张皮”的游戏：明里（有人听课时）引导学生寻找解题策略，暗里（没人听课时）引导学生寻找数量关系。那么，如何改变这一现状，让教师走出误区呢？

一、客观认识“应用题”和“解决问题”的内涵

传统教材中的“应用题”，是指将生活或生产中的实际问题，用文字或语言表示数量关系的题目。它的结构比较单一，主要是训练学生的解题技巧。现行教材中的“解决问题”，是指由特定的情景引起，按照相关目标，使问题得到解决的过程。它需要学生运用一系列认知，经过一系列思維，将初始状态转化为目标状态。新课程改革以来，传统的“应用题”被现行的“解决问题”取而代之。现行教材打破了传统教材应用题“一例一类”的编排模式，所采用的是一种“天女散花式”的编排模式。其主要意图是改变循序渐进式的数量关系分析，让学生在特定的场景中，在教师的指导下，应用所学的数学知识，探寻解决问题的策略，“八仙过海，各显神通”地解决实际问题。

如题目：“三（1）班的48人，先平均分成两队，再每队平均分成3组。每组有几人？” 这道题让中年级学生解决，他们很快就想到了连除“48÷2÷3”，算出每组有8人。把这道题交给低年级学生解决，他们也能说出“每组有8人”的答案，但当笔者追问他们是怎样想的时，他们说用的是体育课上队形分列的策略：先平均分成两队，即48人按“1、2” 报数，“1”不动，“2”向前走一步，便成了两队，每队24人；再每队平均分成3组，即24人“1、2、3” 报数，“1”不动，“2”向前走一步，“3”向后退一步，便成了3组，每组8人。

不难看出，中年级学生是在解答应用题，而低年级学生是在解决问题。传统的应用题教学，是给学生提供解题样板和类型模式，让学生机械模仿。现行的解决问题教学，则是让学生在无解题样板模仿与无类型模式参照的情况下自主探究、思考、解决问题，从而促进学生自主寻找、探索、优选解题策略。解决问题的教学中，学生探索的脚步可能会蹒跚，学生解题的速度可能会缓僈，学生选择的策略可能会有偏差。然而，不经历风雨怎能见彩虹？只有让学生经受考验，才能使他们获得解决问题的方法，积累宝贵的解题经验。

二、客观分析“应用题”和“解决问题”的关系

客观认识了“应用题”和“解决问题”的内涵，便能顺利地分析“应用题”和“解决问题”的关系。其实，“应用题”和“解决问题”是你中有我，我中有你，它们并不是孤立存在的，而是交叉联系的。当然，“应用题”和“解决问题”也有以下区别。

其一，解决问题的范围比应用题更宽广。传统的应用题，通常分为两大类：一类是数学应用题，另一类是实际应用题。数学应用题是由数量关系构成的题目，实际应用题是由数学与生活素材构成的题目，主要有整数、小数的一步和多步计算应用题，分数、百分数应用题，比和比例应用题。现行的解决问题，除了数与代数，还有空间与图形、概率与统计、实践与运用、生活与生产等内容。

其二，解决问题的内涵比应用题更丰满。解答传统的应用题时，很少考虑它的问题特性，更多的是考虑它的练习题功能。同样的一道题目，对于从未接触过的学生而言，是解决问题；对于已经接触过的学生而言，是做练习题。做练习题的水平与解决问题的水平是不可同日而语的。现行的解决问题，既有练习题的功能，又有探究、体验、感悟问题特性的功能。

其三，解决问题的教学比应用题的教学更科学。传统的应用题教学，主要是学生围着教师转，教师牵着学生分析数量关系、列式解答、模仿练习。现行的解决问题，能充分调动学生的学习积极性和主动性，注重数学模型的建立和解题策略的形成，关注学生收集信息和处理信息的本领，重视培养学生探究、交流和合作的能力，突出解决问题的过程和解题经验的积累。教师不再只是讲解、提问和示范，学生也不再只是听讲、回答和模仿。教师是平等中的首席，学生是课堂学习的主人，学生能在提出问题、分析问题和解决问题的过程中学会解决问题的方法。

其四，解决问题的目标比应用题更多元。传统的应用题教学，致力于分析数量关系和找到解题思路。现行的解决问题教学，目标达成是多元的。在知识技能层面上，引导学生深刻理解基础知识，认识和掌握常见的数量关系；在思维品质层面上，引导学生利用已有的知识经验推理数量关系，使学生的数学思维得到充分发展；在解决问题层面上，以培养学生创新精神和实践能力为主线，促进学生形成良好的合作意识、问题意识、探究意识和策略意识；在情感态度层面上，引导学生体验数学的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的信心、兴趣和欲望。

显而易见，解决问题的教学蕴含着应用题的教学，解决问题的教学并非是排除、挤压和抛弃数量关系的分析，解决问题同样需要数量关系的分析。

三、客观对待“数量关系”和“解题策略”的教学

现行教材将传统应用题分散在“数与代数”的内容之中，既不是不要渗透和运用数量关系，也不是不要归纳提炼和抽象概括数量关系，更不是不要讲述数量关系的术语或关系式。一些常见的基本数量关系，不但能为构建解决复杂问题的模型奠基，而且能为提高学生的数学学习能力发挥作用。传统的应用题教学中，为帮助学生学会分析和整理数量关系，所采用的分析法、综合法、画图法和列表法，其实也是解决问题的策略。但这些方法不能过多地让学生进行机械训练，或是长时间地模式化训练。类似“根据……可以求……”和“要求……必须求……” 的训练，训练的次数越多，训练的时间越长，越会导致学生的思维局限在某些知识范畴上。现行教材中的解题策略，不但有分析法、综合法、画图法、列表法，而且有列举法、假设法、替换法、倒推法等。这些解题策略有的适合用于解决常规问题，有的适合用于解决特殊问题。显而易见，“数量关系”和“解题策略”应相存相依、共生共荣、互联互通，教师在教学解题策略时应不忘数量关系的分析，分析数量关系时不忘解题策略的渗透。

如有一道题：“某修路队3小时修路30米，照这样下去，该修路队修90米路需要多少小时？” 有的学生根据修路米数的变化，直觉地认为修路时间扩大了3倍，列式是3×（90÷30）=9（小时）。但有的学生列式是3×90÷30，这种列式蕴含着后续学习中的假设策略。假设修1米路用3小时，那么修90米路需要（3×90）小时，但实际是修30米路用3小时。“假设的”与“实际的”一比照，就得把假设所得的时间缩小30倍。

如果教师看不到“3×90÷30”背后的假设策略，只是依样画葫芦，让学生分析基本的数量关系，学生对此只会讲不清、道不明，故认为“3×90÷30”不合理，进而抛弃这种列式。对数量关系的教学，应“居高临下”，只有教师的视野高于数量关系，才能将数量关系教活，也才能为解题策略的形成夯实基础。

总而言之，从“应用题”到“解决问题”，不只是名称表述的替换，更是对传统应用题教学的改革。教师只要客观地认识、分析、对待“应用题”和“解决问题”，就会深切地感到：数量关系的教学不必犹抱琵琶半遮面。

（责编 黄春香）