关于用留数定理计算实积分问题的教学研究

汪文帅

[摘 要]正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造能够求解的适当的积分路径， 然而大量教材或者相关文献长期有意无意地按照既定思维对某类问题选择基本固定不变的积分路径进行求解， 大多数教师在教学中也没有注意从思想上加以启迪，这在一定程度上给学生以思维定式.该研究用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分过程中积分曲线的选择方法， 从不同的角度体现了求解时选择积分路径的核心思想， 对进一步开拓学生思维，使其能够更为深刻地理解留数定理有积极的意义.

[关键词]实积分;留数定理;积分曲线

[中图分类号] O175.5 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）04-0106-03

留数定理是复变函数论的重要组成部分，其在理论物理、流体力学等领域有着广泛的应用. 其中一个重要的应用是计算某些实函数的积分，如在研究阻尼振动时的积分[1][0+∞sinxxdx]、研究光的衍射时的菲涅尔积分[2][0+∞sinx2dx]等，这些积分用实积分的方法计算几乎是不可能的，但是转化为复积分，利用留数定理计算就相对简单了. 转化最关键的是设法把实变函数的积分与复变函数的封闭曲线积分联系起来，一般的做法是将定积分的积分区间作为复积分的封闭曲线（积分路径）的一部分，利用留数定理计算复函数在围线内的奇点的留数，且要求在除定积分区间的其他积分曲线上，复函数的积分能够求出.但是在具体的教学过程中，往往构造容易求解的积分路径， 然而大量教材[3-5]或者相关文献[6-10]长期有意无意地在选择相应的积分路径的过程中都大同小异，按照既定思维对某类问题选择基本固定不变的积分路径进行求解.诚然， 在具体求解某些积分值时， 一种方法已经足够了.事实上， 我们知道， 用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值， 这只是我们通过柯西积分公式以及留数定理所得出的结论， 然而对本部分的认识如果能够通过课本中的实例加以拓展验证，则会达到事半功倍的效果. 但是在教学过程中，大多数教师也没有注意从思想上加以启迪，这在一定程度上给学生以思维定式. 这样的教学情境必然會对学生掌握留数定理造成错误的认识，让学生误认为在用留数定理计算实积分的时候只能选取包含实轴的此类封闭曲线.

我们的要点是让学生理解留数定理求解题目的本质，单一的求解方法难以拓宽学生的思维， 达到培养其创新思维的目的. 为此， 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分过程中积分曲线的选择方法， 从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想， 对进一步开拓学生思维，使其能够更为深刻理解留数定理有积极的意义.