体认数量关系渗透函数思想

杨丹华 吴月芳

【摘 要】有关“单价、数量与总价”的数量关系是日常生活中常见的数量关系之一。通过具体例子抽象概念名称，概括数量关系，再进行具体应用，这是人教版教材的编排思路。而教师可以对这样的思路进行调整，从而达成以下三个目标：突出对“单价”的理解；从函数的视角理解数量关系；从“变化”中寻求“不变”的思路分析问题与解决问题。

【关键词】单价；函数思想；变与不变

人教版四年级上册关于“单价”与“速度”的数量关系，是教材中唯一单独教学的两个数量关系。教材首先安排了两个与“单价、数量与总价”有关的具体问题，寻找到相同点后进一步抽象概括，形成“单价×数量=总价”这一个数量关系。除此之外，如何理解“单价”的含义？在理解、总结与应用这一数量关系时，可以用怎样的策略渗透函数思想？笔者带着这些问题进行了教学实践。

一、观察比较，理解“单价”内涵

显然，在“单价×数量=总价”的关系式中，“单价”是其中的核心概念。“单价”是标明商品价格，在商场里每一种商品都有自己独有的“单价”，学生在生活中已经有了很多的经验积累。

（一）观察标价，理解标价的结构

课始，教师出示一组商品标价（如图1），提出问题：这是7件商品的标价，请你仔细观察，哪几个标价可能是同一类商品，为什么？

这几个标价，均采用了“复合单位”的方式表示。教师通过提问，让学生对单位进行分析比较，可以发现，每一个标价都有“元/□”这样的结构。同时“8元/支”“10元/支”和“4元/支”的单位又是相同的。

因此，学生在回答上述问题时，需要分析每一个标价的结构，从中推导出每一个标价的含义。

（二）猜测商品，沟通标价与商品的联系

上述标价所对应的商品是日常生活中常见的。学生依据生活经验，可以猜测相对应的商品，从而沟通标价与商品之间的联系，更好地理解“单价”的内涵。

教师把相同单位的三个标价放到了一排，请学生猜一猜，可能是哪一类商品。然后出示图示，发现原来是三种不同的水笔标价，再猜一猜其他几个标价分别是什么商品？学生猜测并说明理由后，教师逐步把图1补充成图2。

最后，以具体的商品标价为基础，教师总结：像这样每瓶矿泉水的价格，每支水笔的价格，每件衣服的价格……我们称之为商品的“单价”。

（三）比较标价，发现标价之间的联系

同样的商品，由于包装不同，商品单价的标价形式也会发生变化。

因此，为了更深入理解“单价”的内涵，我们还可以比较同种商品不同包装下的标价，进一步体会单价的内涵。

教师出示图3的标价，请学生猜一猜，它可能是哪一种商品。

学生猜测后出示图4。同样是“农夫山泉矿泉水”，为什么有两个单价？你还能够举出这样的例子吗？

以上三个教学环节，学生先在比较中认识商品标价的结构，再由商品标价猜测具体商品，最后得出由不同标价可表示相同商品。围绕“单价”内涵环环相扣，层层推进，充分利用了学生的生活经验。

二、列舉实例，概括数量关系

理解了“单价”的内涵，“数量”“总价”以及由这三个概念构成的关系式就可以在具体应用中逐步概括。并且，通过题组分析，发现各个量之间的变化规律，由单纯的数量关系转变为渗透函数思想的关系式。

（一）纵向解决问题，概括基本数量关系

纵向解决问题是指利用同一个单价，改变其中的数量，求总价的过程。在解决这样的题组后，再引导学生观察比较，概括“数量”“总价”与“单价×数量=总价”之间的关系。

教师创设购物情境，提出问题：买单价是8元/支的水笔2支，需要多少钱？20支呢？200支呢？

学生独立列式解答后校对。然后教师进一步引导学生概括，这里的“2支”“20支”“200支”叫作商品的“数量”，“16元”“160元”“1600元”是购买商品总共需要花的钱，叫作“总价”。在此基础上进一步追问：你能够用“单价”“数量”“总价”概括出这三个算式的共同的关系式吗？学生回答后形成如图5的板书。

（二）横向解决问题，灵活变式数量关系

横向解决问题是指在得到基本关系式后，通过改变已知条件与所求问题，在解决具体问题的过程中概括出新的数量关系的过程。在解决问题的过程中，逐步形成利用关系式解决问题的一般思路，即先抽象概括信息与问题，用“单价”“数量”“总价”表示，然后列出关系式，再列式并解答。

教师在总结了上述数量关系后继续提出问题：

王老师到商店去买一些水笔，带去的钱正好可以买单价8元/支的水笔30支。王老师想买60支水笔，需要选哪一种水笔？

这是一个可以用多种思路解决的问题。首先可以用“单价×数量=总价”求出王老师带的钱数，即“8×30=240（元）”，这是基本数量关系的具体运用。要求“选哪一种水笔”就是求新的单价，可以有三种思路。第一种是“总价÷数量=单价”，即“240÷60=？”，当列出这一种方法后，学生发现无法计算，思路需要改变（当然有部分学生能够计算）；第二种是“总价÷单价=数量”，即“240÷4=？”，如果商是60，单价就是“4元/支”；第三种是“单价×数量=总价”，即“4×60=？”，如果积是240，那么单价就是“4元/支”。

解决同一个问题用多种思路，逐步概括出基本关系式的变式。同时，让学生感受到，在解决问题时要灵活变换数量关系，形成基本数量关系与数量关系变式的体系。

（三）回顾解决问题，适度渗透函数思想

在解决问题的过程中，学生积累了几组有联系的计算题，对这些题组进行整体观察，可以发现它们的变化规律。即“单价”“数量”“总价”这三种量中，当其中一种量不变，另外两种量之间的函数关系。

图6是在解决上述问题时形成的板书。

教师引导学生观察上面虚框里的3个乘法算式，让学生说一说有什么发现。

生1：我发现“单价”不变，数量增加，总价也增加。

生2：我发现“单价”不变，数量乘几，总价也乘几。

依据生1的回答，教师在数量关系中的总价与单价处各加上向上的实线箭头。接着教师各添上向下的虚线箭头，请学生说一说这表示什么。同样地，在生2回答后，在题组中进行举例验证，并追问，还可以发现什么规律？通过举例概括一个因数除以一个数（0除外），积也除以相同的数。

针对下面的虚线框，教师追问：为什么不选择单价是“10元/支”的？

生1：因为买的支数要增加，那么单价就要变小。

生2：支数乘2变成了60支，单价除以2变成了4元/支。

最后形成如图7的板书。通过题组，把数量关系看作函数关系，拓展学生对数量关系的理解。这既是上一节课中的思维方式的延续，也为后续学习“归一问题”“归总问题”和“正反比例应用问题”做铺垫。

三、边练边思，巩固与应用数量关系解决问题

数量关系在解决问题的过程中概括，然后要回到解决问题的过程中进行巩固，并在不断地应用过程中加深对数量关系的理解，靈活地应用数量关系解决问题，提升学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力。

（一）依据信息，提出问题

在新知学习后，需要安排相应的基础练习，让学生应用新知解决问题，巩固思维。作为常见的数量关系，教师可以编制不同的现实情境，让学生进一步体会数量关系的一般性与现实情境的丰富性。

根据已知信息提出问题并解答。

（1）每个篮球80元，老师买了3个，

？

（2）买4千克甲鱼共花费了240元，

？

（3）学校花240元买字典，每本字典60元， ？

教师让学生依据已知的信息提出问题，然后列出数量关系，口头回答出算式与结果，并将算式写到与数量关系相对应的板书中。

（二）合理选择，提出合适的数学问题

算用结合是数学学习的基本思路。利用运算解决具体问题，并从中总结出数量关系，是学习的主要形式。结合算式，提出相应的问题，可以更好地促进学生对数量关系结构的把握。

在上面一组练习中，分别用如下3个算式解答：①80×3=240 ②240÷4=60 ③240÷60=4。请学生观察这几个算式之间的联系，选择其中有联系的两个式子，编写一道两步计算的应用问题，并且数量关系要求是本节课新学习的内容。

选择算式编写应用问题，促使学生能够寻找算式之间的关系，赋予“数”以具体的意义，通过交流，发现同样的算式可以有不同的情境，不同的情境在解决问题时又有相同的数量关系。

（三）灵活应用，结合实际解决问题

在实际生活中，商品有零买也有成批买，而成批买会便宜些。因此，教师也可以创设这样的情境，让学生合理地制订购买方案，使所花的钱最少。

某商店的农夫山泉矿泉水有两种买法（如图8），如果买6瓶，需要多少元？如果买36瓶呢？如果买42瓶呢？

解决第2个问题时，需要判断整箱买每瓶的单价是多少元，是否比单独买要便宜一些？当解决第3个问题时，则需要判断42瓶里面有几个18瓶，还余下几瓶？分成两个部分分别求出单价再相加。可以先请学生独立计算，然后反馈讲评。

总之，商品买卖中的数量关系的学习，是学生第一次对多个具体数量关系相同点的抽象概括。在这一个过程中，可以让学生结合具体的例子，体会数量关系中各个量之间的变化关系，渗透函数思想，感受数学的内在魅力。

（浙江省杭州市萧山区瓜沥镇第三小学311200

浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学311200）