用联系的观点看“幂的运算”

黄秀旺

数学知识之间是彼此联系的，如果我们明晰这种联系，必将使我们的学习更加轻松且更为有效。“幂的运算”与哪些数学知识有必然的联系呢？我们将从整式运算的角度分析学习“幂的运算”的必然性，再从数的运算的角度分析“式（代数式）”与“数”的一致性。

一、为什么要学幂的运算？

回答“为什么要学幂的运算”，先要回顾整式及其运算。我们已经学习了单项式及其系数、次数，多项式及其项数、次数，整式及整式的加减运算等，而整式的加减运算的实质是合并同类项，并且整式的加减运算中我们运用了加法的交换律和结合律。

类比有理数的运算，你认为接下来我们要研究整式的什么运算？回顾研究有理数运算的过程，我们经历了有理数的加法、减法，然后是乘法、除法，最后是乘方的学习。因此类似的，在学习了整式的加减运算后，也应当学习整式的乘法、除法，乃至乘方。

整式是单项式与多项式的统称，我们可以设想整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。其中，多项式乘多项式较为复杂，比如（3x+2y）（2x-3y），我们可以把（3x+2y）看成一个字母A，则（3x+2y）（2x-3y）=A·（2x-3y）=A·2x-A·3y=（3x+2y）·2x-（3x+2y）·3y=3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y（还需继续计算）。这其实就是利用分配律将多项式乘多项式转化为单项式的乘积之和，再利用乘法交换律、结合律进行单项式乘单项式的运算。所以，上述三种基本类型的乘法，是以单项式乘单项式为基础的。而单项式的乘积有三种基本类型：同底数幂的乘法am·an，幂的乘方（am）n，积的乘方（ab）n。只要我们知道了它们的运算法则，就可以用乘法的交换律、结合律以及这些法则进行单项式的乘法运算了。

因此，學幂的运算就是为了进一步学习整式的乘法运算。