对《普通高中教学课程枳准（2017年版）》的若干商榷

摘要：笔者认真研读《普通高中数学课程标准（2017年版）》，根据自己的理解提出了若干商榷意见.

关键词：课程标准;数学史;复数的产生;商榷

笔者研读了《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《2017版课标》），现对该书提出若干商榷，不当之处，敬请读者批评指正.

1《2017版课标》第5页对核心素养“逻辑推理”的论述值得商榷

普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-3·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（以下简称《选修2-3》）第78页的脚注是“演绎推理又称为逻辑推理.

《选修2-3》第81页写到：

至此，我们学习了两种推理方式——合情推理与演绎推理.

思考：合情推理与演绎推理的主要区别是什么？

归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理;而滨绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.

人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化.合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.

就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理.因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想.

《2017版课标》第5页对核心素养“逻辑推理”的论述是：

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.

逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.

通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力.

因而，笔者对《2017版课标》第5页的以上论述有以下商榷：

因为《2017版课标》第5页的以上论述中的“逻辑推理”的内容既包含了演绎推理（即逻辑推理），又包含了合情推理，所以建议把《2017版课标》第5页的以上论述中的“逻辑推理”（共5处）均改为“数学推理”，还应去掉“是数学严谨性的基本保证”这句话（因为合情推理不能保证得到的数学结论的严谨性）.

2《2017版课标》第19页第9行中的“实数集合”应作改动

普通高中课程标准实验教科书《数学·必修1·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）第2页写到“一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）”，第3页又写到“全体实数组成的集合称为实数集，记作R”.

由此论述，可知“实数集合”就是实数集，也就是R.

《2017版课标》第19页第8，9行写到“也把函数理解为实数集合之间的对应关系”.

既然“实数集合”就是R，所以应把“也把函数理解为实数集合之间的对应关系”这句话中的“实数集合”改为“数集（这里的数是实数）”.

3《2017版课标》第22页对核心素养“适辑推理”的论述值得商榷

《2017版课标》第22页第一段话是：

③结合具体实例，了解7的实际意义;能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.

普通高中课程标准实验教科书《数学·必修4·A版》（人民教育出版社，2007年第2版））第54页写到：

现在，我们再次回到本章开头提到的“简谐运动的图象”.可以证明，这个图象所对应的函数解析式有如下形式：

4建议把《2017版课标》第22页倒数第1行中的“并会画程序框图”删去

《2017版课标》第22页倒数第1行写到“探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图”.

程序框图是普通高中课程标准实验教科书《数学·必修3·A版》（人民教育出版社，2007年第3版））第一章第一节“1.1算法与程序框图”中的内容，但这部分內容在普通高中数学课程标准（2017年版）中已删除，所以建议把《2017版课标》第22页倒数第1行中的“并会画程序框图”删去.

5建议指出《2017版课标》第28页的基本事实4是可以证明的

《2017版课标》第28页写到：

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.（该页的脚注还写到“基本事实1～4也称公理”.）

公理应尽可能的少，但为了教学的需要，也可适当增加公理（这样就减少了对该“公理”的证明）.可能很多高中师生并不知晓以上基本事实4是可以证明的，详见甘志国著《初等数学研究（I）》（哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008）第506页，因而建议指出《2017版课标》第28页的基本事实4是可以证明的.

6建议把《2017版课标》第28，29页的若干结论改述

《2017版课标》第28，29页给出了下面的若干结论：

?一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

?两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

?两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

?如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

?如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

建议把这5个结论作以下改述（改述后更顺畅）：

?如果一条直线与一个平面平行，且过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

?如果两个平面互相平行，且第三个平面与这两个平面均相交，那么得到的两条交线平行.

?如果两个平面互相垂直，且其中的一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

?如果一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行.

?如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

7建议把《2017版课标》第38页第16，23行中的“数列”均改为“数列的项”

《2017版课标》第38页第16行写到“③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系”，第23行写到“③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系”，建议把这里的“数列”均改为“数列的项”.

8建议把《2017版课标》第45页第7行中的“两点决定一条直线”改为“两点确定一条直线”

9建议把《2017版课标》第46页第1行中的第二个“建立”改为"求出”

《2017版课标》第46页头两行写到“能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程”，建议把第二个“建立”改为“求出”，因为“建立方程”不通顺.

10对《2017版课标》第122页第5行叙述的疑问

《2017版课标》第122页“案例10复数的引入”中写到（见该页第5～7行）：

在古希腊学者丢番图时代，人们已经知道一元二次方程式有两个根，但其中有一个根为虚数时，宁可认为方程不可解.直到16世纪，人们普遍认同丢番图的办法.

关于这段话，笔者有以下疑问：

（1）笔者查阅了搜狗百科“一元二次方程”（https：//baike.sogou.com/v2785371.htm），其中有以下敘述：

古希腊的丢番图（Diophantus，246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一.

公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwarizmi，780?810）出版了《代数学》.书中讨论了方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认一元二次方程有两个根，并有无理根存在，但却没有虚根的认识.

汪晓勤、韩祥临编著《中学数学中的数学史》（北京：科学出版社，2002）第67-69页的内容也与以上搜狗百科“一元二次方程”中的以上论述一致，这说明丢番图时代是不会认识到“一元二次方程有一个根为虚数”的.

另外，“直到16世纪，人们（才）普遍认同丢番图的办法”这句话中的“丢番图的办法”是什么办法，在案例10中也至始至终没有介绍.

2018年14月3日晚上10：34，笔者把此想法询问了李尚志教授（1947～，原中国科技大学数学系主任，北京航空航天大学数学与系统科学学院院长），先生于次日早上7：52回复如下：

你的意见是对的.丢番图时代不可能认识到一元二次方程有虛根.不是“宁可认为方程不可解”，而是确实认为方程不可解，没想到方程还有解.正如课标这一段所说，首次认识到应该有虛数的是卡丹.如果不承认-1有平方根，三次方程本来有三个实根的情况都变成没有根了，而通过虚数可以求出这三个实根.就好比你旁边有条河，认为河就是世界边界，河那边的风景都是虚幻的.但自己这岸有一个悬崖，无路可下去，但可以看见悬崖下面的人的生活，也可以与他们说话.结果有人过河从河对岸回到自己这岸到了悬崖下，就足够说明河对岸不是虚幻.

不过，课标也是人编出来的，考虑不周说了错话也很正常.写这段话的人自己知道二次方程可以有虛根，潜意识就认为古人也应该知道.

由“在古希腊学者丢番图时代，人们已经知道一元二次方程式有两个根，但其中有一个根为虚数时，宁可认为方程不可解”可知，在丢番图时代，人们还没有承认虚数，所以这时的一元二次方程的系数都是实数，因而其有虚根时，两个根都是虚根.

因而，建议把这段话中的“一元二次方程式”“其中有一个根为虚数”分别改为“一元二次方程”“根为虚数”.

应如何修订《2017版课标》第122页第5行这段话，我们期待着有关专家尽早发表意见.

11建议把《2017版课标》第122页正文倒数第5，4行中的“欧拉第一个使用符号〖表示虚数”中的“虚数”改为“虚数单位”

12建议把《2017版课标》第160页第7，8行作改动

建议把《2017版课标》第160页第7，8行中的“位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影”改为“夏至那天，在塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上，这里有位于尼罗河的第一瀑布）正午立杆无影”.