数学建模思想和方法融入中等数学课程的研究

王晓燕

摘 要：数学建模是解决数学问题的有效途径。本文阐述了数学建模融入中等数学课程的优势，进行了相关的应用举例，还探讨了如何在中等数学课程教学中培养学生的数学建模思想。

关键词：数学建模;中等数学;数学思维

在中等数学课程的教学中，我们经常让学生通过数学的方法去解决一些实际问题。这些实际问题可以被转换成数学模型，这个转换的过程就被称为数学建模。数学建模为解决数学问题提供了新的思路和方法，在中等数学课程的教学中起到了重要作用。

一 数学建模融入中等数学课程的优势

（一）提高对问题的分析、解决能力

数学建模通过对数学问题进行抽象的、具有概括性的思维，对问题当中的有效信息进行提炼和重组，使学生可以寻找到解决问题的方法。锻炼了学生在抽象思维、综合分析、理解和组织语言方面的能力。

（二）提高筛选和获取信息的能力

学生在寻找解决问题思路的时候会利用教辅材料、互联网等渠道来获取信息，在庞大的信息海洋中，如何筛选出符合自己要求的，有价值的信息，是对学生筛选和获取信息能力的又一个考量。寻找解决问题思路的过程，就是他们再一次理解问题的过程。

（三）提高学生的合作创新精神

数学建模并不是千篇一律的，通过不同的思维方式和入手点，可以表现出不同的形态，最终变成不一样的解题方法。学生在一次次利用数学建模思维去解题的过程中，培养了自身的创造性，学会了用新的视角看待数学问题。同时在课堂上，不同的数学建模思维也会给学生带来新的想法，促使学生们不断完善自我、不断协调彼此。不仅锻炼了学生的创新思维，而且提升了学生合作解决问题的能力。

二 数学建模在中等数学课程中的应用举例

我们以具体的案例来研究数学建模思想和方法如何融入中等数学。

例题：对于某银行发行的理财产品，有下列三种购买方案，您会按照哪一种方案进行购买？

方案一：自购买之日起单份每年可获得收益20元;

方案二：购买之日单份可获得收益5元，往后每一年可比前一年多获得收益5元;

方案三：购买之日单份可获得收益0.2元，往后每一年可比前一年多获得一倍收益。

常规解题思路：由题可知，投资收益的多少与天数成正比，所以我们可以建立以投资时间作为自变量的投资收益模型，对比在某一固定时间点的投资收益增长情况，寻找问题的解决方法。

解：设第x年所得收益是x元，则收益可表示为

方案一：y=20（x∈N*），方案二：y=5x（x∈N*），方案三：y=0.2×2x-1x∈N*）

建模分析：我们先计算出三种方案收益的增长，如表所示：

通过分析三种方案的收益增长情况，我们可以发现开始几年方案一的收益最多，从第5年到第8年的时候方案二的收益较多，当时间来到第9年的时候，方案三的收益最多。根据我们所列模型可以清晰地看出，方案一是一个常数函数，方案二和方案三都是增函数。函数的表示方法有列表法、图像法、解析式法等多种，在解决函数问题的时候，我们也可以通过建立函数数字模型的方式来展现出一个更直观的图像，通过建立函数模型，我们可以直接反映出函数的一些性质，把握增长情况。

在这道题中，我们通过设持有年数为自变量，建立了三个不同的函数图像，从每年所获得的收益来看，方案一在前四年的时候最多，方案二在第五年到第八年的时候最多，方案三在第九年以后最多。在教学的时候，当模型构建出来之后，我们还要引导学生继续思考后面的细节问题。比如模型仅仅体现了每年的收益，我们在考虑理财收益的时候，还必须计算每一年所能得到的累计收益，以及三种不同投理财方式的投入成本，计算出每一种理财方式的净收益，才能得出最终结果。

三 如何在中等数学课程教学中培养学生的数学建模思想

（一）加强对数学描述的训练

数学描述对于数学问题的理解起到至关重要的作用，要在日常数学課程中加强对数学描述的训练。专业性的数学描述并不局限于集合、代数式、函数关系、方程式等领域，对于生活当中的应用案例，也应该用数学语言进行描述。比如“有两种轿车可供销售，售价分别为3万元和5万元。如何证明在正常销售的过程中可以获得9万元或者8万元以上的任何整数万元的收入”。简化成数学知识为：“如何证明3的倍数与5的倍数之和可以是任何不小于8的自然数”。我们可以再简化一下，将其变成标准的数学语言为：“存在非负整数m，n，对任意自然p≥8，都能得到p=3m+5n”。

（二）从传统模型入手

学习数学建模思维和方法的时候，一开始就构建模型显然难度颇大。可以从传统的数学模型入手，掌握基本模型之后再进行创新。比如抛物模型，单色三角形模型，组合优化中的中国邮路问题，图论与几何拓补中的七桥问题，还有细菌繁殖模型这种预测模型问题，都对数学模型的学习和构建起到良好的指引作用。对于以这些模型为基础所创作的案例习题，学生在大量解读和理解之后，将会掌握这些传统的数学模型，训练出基本的模型构建思维。

（三）数学结构

数学结构是一种关于现象特征的表示形式，与数学模型类似。数学模型的学习离不开对数学结构的研究，尤其是那些有助于建模的结构，教师应将其筛选出来，对学生进行重点教学。比如图的结构，方程式的结构、数表和算法的结构等，这些是学生在日常数学课堂上无法学到的知识，因此在数学模型讲座中需要进行讲解和普及，让学生能够在此基础上更好地构建数学模型。

（四）进行创新性思维训练

对数学问题的综合分析和解决问题都离不开创新性的思维，因此通过设计创新性思维训练，能够有效地提升学生创造数学模型的效率。创新思维的试题在历年来的竞赛试题中都存在，比如“在边长一万公里的正方形区域里存在40座城市，现在为其修建总长预计十一万公里的道路，让其中任意两座城市都能够有相连，请为其设计出至少一种方案。”学生在进行设计的过程中，会不断尝试和创建，结果不唯一，所经历的思维历程也不一样，能够极大地锻炼学生的创新性思维。再比如“如何用一个半圆形的画图工具让一条过固定点的直线能够垂直于半圆形工具（可沿着画图工具的边缘画直线）”。这道题限制了学生对于线条形状、位置以及画图工具的选择，要求学生克服困难给出符合规定的方案，不仅能够锻炼学生构建数学模型的能力，还能够培养学生在解决困难时的良好心态。而这样的能力和心态在解决数学难题时将会起到十分重要的作用。

（五）单独建模问题训练

教师可以针对学生的数学水平设计专门的建模问题，通过这些精心设计的建模问题，来让学生对建模的方式展开讨论研究，培养学生利用数学建模方法解决数学问题的思维。题目训练可以让学生学会举一反三，将建模思路运用到其他的类似或者包含建模的数学问题当中。

例如“在一张边长为十厘米的正方形纸板上裁剪出直径为一厘米的圆形纸板，如何才能剪裁出最多的数量。”这是个看似开放，实则模型固定的问题，学生在对比各种不同的剪裁模型的同时，会不断地靠近唯一的那个最优解，并得到答案为106个。这就是直接用模型问题来训练学生解决数学问题。

结语：

将数学建模的思想和方法融入中等数学课程中，通过对数学描述的训练，对传统模型、数学结构的学习，对创新性思维的训练，不仅能够帮助学生解决数学问题的难点，还能够培养学生学习数学的兴趣。在进行数学建模思想和方法的教学时也要循序渐进，帮助学生学会独立构建模型。

参考文献：

[1]白严旭.渗透建模思想，发展应用素养[J].中学数学，2019（22）：80-81+93.

[2]华兰石.渗透数学思想方法，提高问题解决能力[J].数学学习与研究，2019（20）：35.

[3]李成杰.谈初中数学教学中应用能力的培养途径[J].才智，2019（33）：89.