“导数”中数学思想方法的应用

范卓然

【摘要】 在高中数学中，导数是相当重要的知识点，同时也是学习的难点.通过数学思想方法的运用，可以更好地学习导数知识.在文中主要就导数中数学思想方法的应用进行探讨.

【关键词】 导数;思想方法;函数

数学思想方法是数学知识的重要组成部分，领悟各种思想方法不但可以加强对知识的掌握而且能力也能得到很大的提升.在学习“导数”这一章中，数学思想方法的灵活应用得到充分的体现，现将有关问题进行归纳总结.

一、函数与方程思想

函数与方程的思想是中学数学的基本思想.我们解决问题时常常涉及很多变量，利用函数的形式可表达出它们之间的关系，从而利用函数的性质进行解决，这是函数的思想.建立量与量之间的关系，通过联立方程组来求解，这是方程的思想.函数与方程可以相互转化，如函数y=f（x）与y轴的交点问题（零点问题）可以转化为研究方程f（x）=0的根的存在问题.函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，可转化为f（x）>0，借助于函数图像和性质解决有关问题.

例1   证明方程x- 1 2 sinx=0有唯一解.

分析  方程的根的问题通常转化为对应函数的图像与x轴的交点问题，唯一性可以通过验证函数的单调性得到解 决.

解  设f（x）=x- 1 2 sinx.当x=0时，f（0）=0，所以x=0是方程x- 1 2 sinx=0的一个解.因为f′（x）=1- 1 2 cosx，显然当x∈ R 时f′（x）>0恒成立，所以函数f（x）在 R 上单调递增.因此函数f（x）=x- 1 2 sinx的图像与x轴只有一个交点，即方程x- 1 2 sinx=0有唯一解x=0.

例2   已知a，b为实数，且b>a>e，其中e为自然对数的底数，求证：ab>ba.

分析  观察此不等式两边的结构，不等式可以等价转化为f（a）+g（a）>f（b）+g（b），构造函数h（x）=f（x）+g（x），利用函数h（x）的单调性可以解决.借助导数证明不等式是一种常用的方法.

解  因b>a>e，故要证ab>ba，只需证blna>alnb，即证 b lnb > a lna .

设f（x）= x lnx （x>e），则f′（x）= lnx-1 （lnx）2 .

因为x>e，所以f′（x）= lnx-1 （lnx）2 >0.

故函数f（x）= x lnx 在（e，+∞）上是增函数，

又b>a>e，所以 b lnb > a lna ，从而ab>ba.

二、数形结合思想

数形结合是在解决与几何图形有关的问题时将图形信息转化为代数信息，利用数量关系进行问题的解决，而解决与数量有关的问题时，要构造出相应的几何图形，借助于图形的直观性找到问题的突破口.

例3   已知f（x）=x3-3x2-9x+3，g（x）=f（x）-m.若函数g（x）在[-2，5]内有3个零点，求m的取值范围.

分析  g（x）的零点问题转化为函数y=g（x）的图像与x轴的交点问题，进而转化为函数y=f（x）与y=m的交点个数问题.函数y=f（x）在区间[-2，5]的图形可进行描绘，移动y=m可得到两曲线交点个数的不同情况，从而得到答案.

解  因f（x）=x3-3x2-9x+3，

故f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）.

令f′（x）=0，得x=-1或x=3.当x∈[-2，-1）时，f′（x）>0，f（x）单调递增;当x∈（-1，3）时，f′（x）<0，f（x）单调递减;当x∈（3，5]时，f′（x）>0，f（x）单调递增.函数f（x）的极大值为f（-1）=8，极小值为f（3）=-24.又f（-2）=1，f（5）=8.

作出f（x）在[-2，5]的图像，见图1，要使直线y=m与y=f（x）的图像有3个交点，则m满足1≤m<8.故所求m的取值范围为1≤m<8.

三、转化与化归的思想

所谓转化是将所求问题运用恰当的数学方法转化为一个新问题进行求解.化归是把待解决的问题归纳为一类已经解决或者比较容易解决的问题.遵循的原则是将复杂化归为简单，将较难化归为较易，将未解决问题化归为已解决问 题.

例4   已知a是常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值，求a的范围.

分析  函数有两个极值，转化为对应的导函数在（0，+∞）有两个零点.（f′（x）=lnx-2ax+1=0有两个根），进 一步转化为函数y=lnx与函数y=2ax-1有两个交点.先求出y=2ax-1与y=lnx相切时对应的a值，利用数形结合的方法，可求出两曲线有两个交点时对应a的范围.見图2.

解  f（x）=x（lnx-ax），x>0，f′（x）=lnx-2ax+1，y=2ax-1过点（0，-1）作曲线y=lnx的切线，设切点为（m，n），则切线方程为y-lnm= 1 m（x-m） ，将（0，-1）代入，得到m=1，故切点坐标为（0，1），此时切线的斜率为1，故2a=1，a= 1 2 ，结合图形知道，0

通过本章的学习，笔者对有关知识进行了总结，极大地调动了笔者学习的积极性，也提高了笔者发现问题解决问题的能力.

【参考文献】

[1]段秀平.浅析高中数学函数与回归方程[J].新课程（下），2017（36）：144.

[2]吕娜，李三平.高中生导数学习的困难及其教学策略[J].考试周刊，2017（105）：82-83.