古代数学问题趣谈

贾娟

【摘要】 数学是问题的心脏，解决问题是数学发展的步履.中国的古代数学史亦即一部中华传统文化中的问题史，本文从数例古代数学问题来揭示数学与生活的密切联系.

【关键词】 数学史;古代数学问题

【基金项目】 山西省教育科學“十二五”规划课题，项目编号：GH-15093.

数学作为中华民族历史最悠久的学科之一，在这五千余年的历史长河中，如果把数学比作华丽的贝壳，那么数学问题必是其中的贝肉.

我国古代的数学著作中记载着许多数学问题，可以说一部中国古代数学史就是一部问题史.《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，全书采用问题集的形式，收集246个问题，一共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股.南宋秦九韶著的《数书九章》里，共收录9类（即大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市物类）共81个问题;宋元时期李冶著的《益古演段》里有259个问题;宋元数学绝唱——朱世杰著的《四元玉鉴》收录了288个问题……

我们将这些众多问题略举数例如下.

例1  李白无事街上走，提一酒壶去打酒.遇店加一倍，见花喝一斗（斗为古代盛酒器皿）;三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？

这道题目有着很强的人文色彩，诗人李白在喝酒赏花的过程中竟然还蕴含着如此兴趣盎然的数学问题.学生在分析题目的时候，不由地会联想到李白创作的“天生我材必有用，千金散尽还复来”“举头望明月，低头思故乡”等脍炙人口的佳句.唐代诗人李白到底爱酒到什么程度呢？在他现存一千多首诗词中，跟酒相关的就占了四分之一，“借酒消愁愁更愁”“花间一壶酒，独酌无相亲”“五花马，千金裘，呼儿将出换美酒”……喝酒的场景真是包罗万象.“李白斗酒诗百篇，长安街上酒家眠”，说的就是李白喝一斗酒能做一百多篇诗，喝完了就睡在长安街的酒家里.在本题中，我们可以想象诗人李白的酒还没有喝光，爱喝酒的他已经迫不及待地带着酒壶和饮酒的器皿——斗，又上街买酒去了.因为李白习惯每次喝1斗酒，所以当他看到壶中的酒不够1斗时，就找到一个酒店，让店主卖给他和壶里所剩数量相同多的酒;当他买酒后，走着走着看见路边开着漂亮的鲜花，心情大好，于是就给自己倒了1斗酒与花共饮.当他又碰见一个酒店，这时发现酒壶里还剩一些酒没有喝完，于是又让店主卖给他和壶里所剩数量相同多的酒;路上李白又看见鲜花，就又喝了1斗酒.当他第三次碰见一个酒店的时候，发现酒还没有喝完，就又叫店主卖给他和壶里所剩数量相同多的酒;从酒店出来后，又一路看见鲜花，李白又给自己倒了1斗酒一干而尽.这时，他发现酒壶里的酒已经喝光了.看着空酒壶，李白心想：我原来出门的时候，酒壶里到底有多少酒呢？

由题意可知，李白在第三次看到花之后喝了1斗酒，此时已将酒壶里的酒喝光，即在第三次遇到酒店之后，并且第三次看到花之前，酒壶里正好是1斗酒;又在第二次看到花后并且第三次遇到酒店之前喝了1斗酒之后，酒壶里有 1 2 斗酒;还可知在第二次遇到酒店之后并且第二次见到花之前，买了和壶里相同数量的酒后，酒壶里有 3 2 斗酒;亦可知在第一次见到花后并且第二次遇到酒店之前，喝了1斗酒之后，酒壶里有 3 4 斗酒;在第一次遇到酒店之后并且第一次看到花之前，买了和壶里相同数量的酒后，壶中盛有 7 4 斗酒.由此即知，在第一次遇到酒店之前，壶中原来盛有 7 8 斗酒.综合之即是：

{[（0+1）÷2+1]÷2+1}÷2={[1÷2+1]÷2+1}÷2=  3 2 ÷2+1 ÷2= 7 4 ÷2= 7 8 （斗）.

这就是我们现在的逆向推算法.这种层层递推、步步紧逼的方法，对培养学生的逆向思维能力是很有益处的.

此题还可以用解方程来求解：

设壶中原有酒x斗，则2[2（2x-1）-1]-1=0，解之得x= 7 8 （斗）.

例2  从前，阿拉伯的一个老牧民有三个儿子和11匹马，临终前他对三个儿子说：“我死后没有留下什么遗产给你们，仅有这11匹马.你们把这11匹马分掉，老大分 1 2 ，老二分 1 4 ，老三分 1 6 .但是不许把马杀掉或卖掉，你们自己分吧.”说完，老人就长眠了.三个兄弟分来分去，总是找不到一个恰当的办法把11匹马分完.你能帮帮他们吗？

如果按照老牧民的遗嘱，直接分给三个儿子的马匹数分别是：老大： 11 2 匹，老二： 11 4 匹，老三： 11 6 匹 （1），可是 11 2 + 11 4 + 11 6 <11 （2），而11-  11 2 + 11 4 + 11 6  = 11 12  （3），现在三兄弟又必须分完这11匹马且“不准把马杀掉或卖掉”，由式（3）得 11 2 + 11 4 + 11 6 + 11 12 =11 （4），这里正好又有 11 12 = 1 2 + 1 4 + 1 6 ，因此，式（4）即 11 2 + 11 4 + 11 6 +  1 2 + 1 4 + 1 6  =11 （5），又  1 2 + 1 4 + 1 6  中的 1 2 ， 1 4 ， 1 6 刚好分别是三个儿子分别应该分得的马匹数.

由此，不妨分两次将马匹分给三兄弟：老大第一次分得 11 2 匹、第二次分得 1 2 匹;老二第一次分得 11 4 匹、第二次分得 1 4 匹;老三第一次分得 11 6 匹、第二次分得 1 6 匹.

由加法结合律，式（5）即  11 2 + 1 2  +  11 4 + 1 4  +  11 6 + 1 6  =11 （6），由式（6）即得老大两次分得马匹数之和 11 2 + 1 2 =6（匹）;老二两次分得马匹数之和 11 4 + 1 4 =3（匹）;老三两次分得马匹数之和 11 6 + 1 6 =2（匹）.即老大分得6匹马，老二分得3匹马，老三分得2匹马.