图形认识方法结构视角下(基于编程猫平台的)正多边形与正多角星的计算机绘制方法一例

胡蔡劼

【摘要】 本文通过在图形认识方法结构视角下介绍正多边形与正多角星的联系，讨论了正多边形与正多角星的计算机绘制方法，并以编程猫（可视化编程）平台为例，设计了绘制程序，将正多边形、正多角星及空心正多角星的绘制方法统一起来，从中体现了数学知识的内在联系.

【关键词】 图形认识方法结构;计算机编程;正多边形;正多角星

“图形认识方法结构”指的是在认识图形的教学和学习过程中，采取的结构性的认识方法和策略.以小学阶段为例，图形认识一般包括物体形状、要素、类型、特征、关系和测量与计算这些内容[1].恰当地构建和运用“图形认识方法结构”有助于加深对图形的理解，有助于建构图形相关的数学知识结构.

运用信息技术将图形绘制出来，也是认识图形的一个良好的方法.引导学生从不同角度进行特征认识，有助于完善学生的图形认识方法结构，一般可以遵循“图形产生——特征发现——关系梳理”的过程进行学习[2].

一、问题发现与概念界定

（一）问题发现

在教学计算机编程时，发现《LOGO语言竞赛教程》（下简称《教程》）中在介绍正多边形的绘制方法时采用的是统一的公式，而在教学正多角星时则只提供奇数角正多角星的公式，且偶数角正多角星只介绍了角数为8，10的，再介绍空心正多角星时却又采取了统一的公式[3].在教学这一部分的知识时，学生容易产生困惑，也就同时产生了研究的欲望.

（二）概念界定

1.正多边形

正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形，也叫正多角形.关于正多边形还有以下几个定义与概念：外接圆、内切圆、内角、外角、中心角、中心、半径、边心距.

2.正多角星

正多角星没有在百度百科查到，相似的概念有“芒星”——由几个完全的等腰三角形（有时是正三角形）和一个正多边形组成的平面图形.

3.空心正多角星

百度上也没有空心正多角星的说法，相似的概念有“正星形多角形”——亦称等边半正凹多角形或等边半正凹多边形，是一种特殊的凹多角形（最常见的正五角星也就是正星形十角形）.

二、图形关系与相关知识

（一）图形关系

学生产生困惑，是因为其在学习时采用的图形认识方法结构有一定的“割裂”现象，如将奇数角正多角星和偶数角正多角星作为两种不同的图形来学习，或是将正多边形与正多角星作为完全不同的图形，而忽略了其中的相同与联系.试着查询了维基百科，发现在“多边形”（polygon）词条下有一幅图，说明了正多边形、正多角星之间的联系.

如上图，其使用  n d  的表示方式来描述正多边形与正多角星.当n=3时，正三边形（即更通俗说的“等边三角形”）可以用  3 1  来表示;当n=5时，正五角星（pentagram）表示为  5 2  而正五边形（pentagon）則表示为  5 1  ;当n=7时，两种正七角星和一种正七边形分别用  7 3  、  7 2  、  7 1  来表示……

比较图中的红线（红线中的图形d值相同）可以发现：当d=1时，都是正多边形，当d=2时，每条边连接的两个顶点之间都包含另外1个顶点……也就是每2个顶点连接一次.而观察比较图中蓝线（蓝线中的图形）都是由某个基本的多角星构成的，如五角星（pentagrams）的蓝线，包括n=5时的五角星、n=10时的两个五角星和n=15时的三个五角星……

因此，k  n d  描述系统的表示方式是：将正n边形（或正n角形）的外接圆用n个点平均分成n份，将每d个点（每隔d-1个点）连接起来形成的图形，当n与d有除了1以外的公因数时，将公因数约去并提取出来作为k.如  10 2  =2  5 1  ，意思是正10边形（每两个点连接起来）相当于两个正5边形;又如，  12 4  =4  3 1  ，意思是正12边形（每4个点连接起来）相当于4个正三边形（正三角形）组合而成，  12 3  =3  4 1  中，正12边形（每3个点连接起来）相当于3个正四边形（正方形）组合而成.

（二）相关知识

根据以上k  n d  描述系统的定义，可以将正多边形与正多角星联系、统一起来，并且由于正多边形与正多角星同时是轴对称与中心对称图形，有以下规律来简化问题（将对称图形考虑为同一种图形）：

1.当n为奇数时，d=1，2，3，…， 1 2 （n-1），如n=9时，d可以为1，2，3，4;

2.当n为偶数时，d=1，2，3，…， 1 2 n-1，如n=8时，d可以为1，2，3——其实当d= 1 2 n时也有相应的图形，只不过变成d条线段组成的图形，不是我们讨论的多边形或多角星了.

了解了这个定义后，就明白《教程》中及网上对偶数角多角星的LOGO语言绘制方法避而不谈的真正原因了——当n和d存在1以外的公因数时，会变成由k个 n k 边形组成的图形，使用重复执行命令完成绘制就比较麻烦了.

为了便于叙述和理解，笔者再引入一个值来描述、统一n为奇数或偶数时d的最大值，称为a.即当n为奇数时，有n=2a+1，当n为偶数时，有n=2（a+1）.《教程》中对奇数角正多角星的统一公式，都是按照d=a的情况来设计的（当n为奇数时n与a必然互质），这样也就省去了变成多边形组合的麻烦了.同样的，其中对8，10角形的程序，是按照d=3来设计的（8，10都与3互质，《教程》后面介绍的几种方法也是针对n，d互质的情况），而对空心正多角星的统一公式，也都是按照d=2的情况来设计的，都是特殊的情况.若需要按照不同的n，d来实现统一绘图则要进行整体的设计.

三、绘制方法与程序实现

（一）绘制方法

根据k  n d  描述系统的定义，可以采用记录外接圆n等分点绝对位置的方法，然后按照不同的d值直接进行连接.但是由于程序与命令特点，使用记录绝对位置的方法比较烦琐（特别是当n很大的时候，需要利用列表来记录很多位置，很不方便），因此，寻求直接绘制的方法.

先不考虑n与d有除1外其他公因数的情况.观察  n 1  （即正多边形）的情况，每次前进至下一顶点后，需要向右旋转 360° n （以下都以顺时针绘制为例），因为正多边形外角和是360°;而  n 2  的情况中，需要旋转两周，即每次需要向右旋转360°× 2 n ……以  n d  描述系统来看，每次需要向右旋转360°× d n .再看前进长度，  n 1  中每边对应的中心角都是 360° n ，而  n 2  中每边对应的中心角包含原来  n 1  中的2倍……因此，每边对应的中心角也是360°× d n ，前进的长度为2r·sin 180°× d n  （过程略，如下图）.

以正7角星  7 3  为例，每边所对应的中心角是原来的  7 1  中心角的3倍，每边长度是sin（360°×3÷7÷2）×r的两倍.

图中，∠1为边AB所对应中心角的一半，有sin∠1= 1 2 AB÷r

再考虑n与d有除1外其他公因数的情况.观察k=3的蓝线，有  6 2  =2  3 1  、有  9 3  =3  3 1  、有  12 4  =4  3 1  ……由k个正三角形组成，即每次绘制完一个正三角形后，要移到下一个相邻顶点，如此重复k次.对最大公因数为合数的情况，还有多种观察的角度，如  36 12  =12  3 1  =6  6 2  ，既可以看成是12個正三角形组成，也可以看成是由6个6角星组成（每次画完前行至下一顶点所对应的圆心角为 360°  3 12  = 360°  6 6  =10°，都相当于 360° n ）.

同样地，将正多边形和正多角星统一起来后，再试图把空心正多角星加入进来.空心多角星既可以看作小边长（如下图中的线段AC）重复2N次得到的，更可以看成是原来正多角星的一部分——只不过每边中间的一段不画而已！

空心正多角星边长：

AB为边（弦），OD为边（弦）心距，∠AOB大小为360°÷边数N×间隔数D（此图是360°÷7×3），而∠1=360°÷边数N÷2（此图为360°÷7÷2），可以得出∠2，再在△OCD中用三角函数算出CD长，从而得到AC长.

（二）程序实现

确定了绘制方法，用程序实现就比较简单了，这里不赘述，直接列出以外接圆圆心为起始点的绘制方法的逻辑流程图——程序使用同样的函数来实现正多边形、正多角星和空心正多角星的绘制，区别在于间隔的数量和每边的长度.

（二）总结

笔者在学习《教程》的过程中发现了这个问题，并运用“图形认知方法结构”重新将三类“公式不同的”图形进行分析与统整，最终确定了三类图形的统一绘制方法.由于对LOGO语言的不够熟悉，使用更直观的编程猫平台制作了程序.

通过这次研究，发现对“图形认知方法结构”的正确理解和使用可以帮助我们打开视野，重新分析已知图形，寻找它们之间的异同点，从而从更高的角度认识到图形之间的联系.通过从看似不相同的图形绘制到统一的绘制方法，也应用了化繁为简的数学思想，体现了数学知识之间的互相联系.

【参考文献】

[1]吴亚萍.“新基础教育”数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009.

[2]周志华.小学数学教学整体综合设计的实践探索[M].南京：江苏人民出版社，2012.

[3]林正山，黄兆津.LOGO语言竞赛教程[M].福州：福建科学技术出版社，2009.