浅谈积分中值定理在命题中的应用

张铎 廖敏

摘要：中值定理是《高等数学》中的基础内容，有着重要的应用价值。本文借助于微分中值定理中构造辅助函数的方法证明积分中值定理，并将该方法推广到有关积分证明的命题中，使得初学者更好地理解和掌握此类命题的证明方法，同时揭示出微分中值定理与积分中值定理之间的关系。

关键词：高等数学;积分中值定理;辅助函数

中图分类号：G642.41     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）11-0213-02

中值定理作为《高等数学》的基础内容备受关注。国内外众多研究者对微分中值定理做了深入的研究。而对积分中值定理的研究稍显薄弱，本文借助微分中值定理的证明思路，证明积分中值定理，并将证明的思路加以推广、扩展。最后，通过多角度考察命题的证明过程，揭示此类命题证明的共性。

一、预备定理

定理一：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

定理二：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在这个区间的端点取不同的函数值f（a）=A及f（b）=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得f（ξ）=C（a<ξ

五、小结

本文就积分中值定理的证明方法進行了探讨和归纳，总结出在积分证明过程中构造函数的几种方法。即，根据命题条件，利用凑微分的思想构造满足条件的函数（方法一）;借助微分中值定理构造辅助函数（方法二）;借鉴中值定理的证明思路，利用连续函数的性质构造原函数（方法三、四）;同时还利用特殊函数的性态构造辅助函数（方法五）。通过研究发现命题证明的关键在于构造辅助函数，而构造函数的基本思想来源于微分中值定理和积分中值的证明过程，所以我们应充分理解和掌握定理证明的思路。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]张宇，高昆轮.张宇考研数学真题大全[M].北京：北京理工大学出版社，2017.