分类思想在高中数学解题教学中的应用探究

摘 要：分类讨论思想应用在高中数学解题过程中时，需要遵循统一性原则、互斥性原则进行分类，保证所分类别不会出现重复的，也不会出现漏掉的情况，经常用到分类讨论思想的题型有不等式的比较大小问题，以及函数的求最值问题、求奇偶性问题，本文分别就这些问题进行了分类讨论。

关键词：分类思想；高中数学；解题

数学课程体系是按知识点进行划分的，比如立体几何、函数、不等式等，学生在学习数学不能只是单纯地学习各个零散的知识点，还要学习数学解题的思路，也就是数学思想方法，这样才能使自己头脑当中的数学知识体系形成一个有机的整体，也能在高考解题过程中灵活运用各种知识。研究高考数学的出题趋势，我们发现现在的题目形式上更加新颖，创新脱俗，如果缺乏数学思想、数学方法的学习，考生很难应对这样的试题，所以探究数学思想是必需的。分类讨论思想是一个经常用到的数学思想，无论是学生在解题过程中，还是科学家在科研过程中，都会用到分类讨论的思想。进行合理的分类，可以提高学生思维的严密性。以下我们分别从进行分类讨论时的使用原则及在解题中应用来说明如何合理地进行分类讨论。

一、 分类讨论思想在高中数学中的应用原则

分类讨论思想需要学生根据相关数学知识的性质和特点，将具体数学问题的已经条件进行清晰而准确的分类，分类的标准要做到不重不漏，并根据各个分类内容，分别得出不同答案。所以运用分类讨论时，要遵循以下原则：

（一） 统一性原则

在进行分类之前要设立一个标准，不能同时使用多个标准，使用多个标准，会造成遗漏或重复。比如，将目标人群进行分类讨论时，可以按年龄大于20岁的，小于20岁的；或者是按性别，男生或女生。在数学解题过程进行分类时，可以是分为x小于20时或大于20时。

（二） 互斥原则

我们在日常生活的很多情况需要计数，而且是准确地计数，当被计数的基数比较大时，我们要对这些对象进行分类，为了保证每个对象都能数到，而且不遗不重，这就需要我们分类后，每个类别应该互不相容，即要每个类别都相斥，而且分类后不能有一个计数对象同时属于两个或两个以上的类别。例如，同学中有20个人买了甲乙两本书，其中买了甲书的人数是16人，买了乙书的人数是13人，如果按买了甲书和买了乙书这个原则进行分类的话，那么就会违反了互斥原则，因为有9人两本书都买了。

二、 分类讨论思想在高考解题中的应用

（一） 不等式中的分类讨论思想

利用减法性质对a，b之间的大小关系进行分类。将两个未知数相减，用差与0进行比较。a-b>0是a>b的充分必要条件；a-b<0是ab，c>0，那么ac>bc；而如果a0，那么ac

例如，比较（a+2）2与a2-2a+4的值的大小。分析：在解这道题的时候，通过将两个式子相减，通过将差与0进行比较来确定两个式子的大小关系。解（a+2）2-（a2-2a+1）=6a，这时需要分类进行讨论。

当a>0时，（a+2）2>a2-2a+4，

当a<0，（a+2）2

当a=0时，（a+2）2=a2-2a+4。

（二） 函数中的分类讨论思想

在函数题中用到分类讨论思想的情况主要包括两种。一是判断函数的奇偶性。这个情况下判断的标准是自变量在关于原点对称的两个点上其函数值是否相等；或者是自变量在关于原点对称的区间内其单调性是否一致；或者是函数的自变量取值范围是否关于原点对称。

例如，判断函数f（x）=x2，x∈（k，2）。在道题中，如果x的取值是全体实数时，它一定是偶函数，关键是看这个函数的自变量的取值范围，看它是否关于原点对称。这时，就需要对k的取值进行讨论，将k分为两种情况进行讨论k=-2和k≠-2，

解：当k=-2时，函数的自变量的取值范围关于原点对称，f（-x）=f（x）=x2，所以f（x）是偶函数。

当k<2且k≠-2時，函数的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数。

二是求函数的最值，根据数形结合得到，函数的最大值就是函数在给定区间内的最高点，首先要看在这个区间内函数的单调性，如果在自变量的这个取值区间内，函数是递增函数，那么它的最大值就是当自变量取最大值时的值；如果自变量在这个取值范围内，函数是递减函数，那么它的最大值就是当自变量取最小值时的值。如果给定的区间是全体实数，这时就是看函数是什么函数，在所学过的函数中，如果这个函数是二次函数时，当二次函数的开口向上时，这个二次函数有最小值；当二次函数的开口向下时，这个二次函数有最大值。如果这个函数是正弦函数，它有最大值是1。如果这个函数是指数函数、幂函数、对数函数等时，当自变量的取值范围是全体实数时，它是没有最值的。

例如，求函数f（x）=x2+1在区间[-2，a]上的最小值。在解这道题的过程中，最关键的是求自变量的取值范围，区间与对称轴的位置不同，函数的单调性不同，那么函数的最值也不同。这时就需要对a的取值范围进行分类讨论了。

当-2

当a≥0时，f（x）在[-2，0]上单调递减，而在[0，a]上单调递增，所以当x=0时函数值有最小值为1。

分类讨论思想在高中数学的集合、数列、平面几何、立体几何、圆锥曲线、复数、排列组合和概率中都有应用，但经常出现的题型不同。学生多进行分类讨论的练习可以增强思维的缜密性。要进行分类讨论的练习，需要学生多对所学的知识进行归纳总结。

参考文献：

[1]朴希兰，朴勇杰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2015（7）：169-170.

[2]杨淑芳.分类讨论思想在高中数学教学中的渗透策略研究[D].信阳：信阳师范学院，2016.

作者简介：谢芳，福建省建瓯市，福建省建瓯第二中学。