基于正切问题情境创设的思考

摘 要：随着新课改的推进，现今的课堂上已经不再像以前那样刻板的教师讲、学生听，而是出现了很多教学模式。因此初中的数学课堂也根据课程标准要求创设生动具体的学习情境，让学生主动地学习数学。本文阐述了苏科版数学九年级下册《7.1正切》是锐角三角函数的第一课如何创设情境。

关键词：九年级数学；锐角三角函数；创设情境

《数学课程标准》明确指出：数学教学要紧密联系学生的实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动具体的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、验证、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成和发展的过程。苏科版数学九年级下册《7.1正切》是锐角三角函数的第一课，对学生后续三角函数概念的学习也至关重要，要使学生真正理解正切的定义，就应该合理创设情境，注重知识发生发展的过程，从实际生活经验直观感受，再抽象到数学图形，通过严密的思维探究出正切的定义。所以在进行教学时，应由实际生活中学生所熟知的实例引入，层层深入引导对台阶的倾斜程度的判断，让学生感受倾斜角的大小也可以由铅垂距离与水平距离的比值来判断，初步体会角与边的比值间的联系。

笔者在第一次上这节课时，按照书上的步骤进行探究，但是在实际教学中发现，学生并不能很快想到用铅垂距离和水平距离的比值来描述角度的大小，学生的探究也比较生硬，甚至不能得到自己预设的结果。下面就这节课的情境创设谈谈教材的意图和自己的想法。

首先，书上呈现了一张关于台阶的图片，提问：从数学的角度看台阶，其中有哪些熟悉的几何图形？目的是把生活实际抽象成数学图形。接着，观察与思考提出的三个问题：

1. 图中哪个台阶更陡？

问题1的设计意图是让学生通过生活经验直观判断哪个台阶更陡？笔者认为应该再追加一个问题：你是如何判断的？目的是让学生认识到台阶的陡缓与坡面及地面的夹角大小有关，夹角的大小可以用来描述台阶的倾斜程度。但是问题2的意图是通过直角三角形的边来判断台阶的陡缓，由问题1过渡到问题2显得特别生硬，可设置问题：如果我们身边没有测量角度的仪器，那么我们该如何判断呢？一个三角形我们除了研究内角外，还要研究什么呢？这样顺利将思考方向引向直角三角形的边。

2. 图中哪个台阶最陡？你是如何判断的？

问题2和问题1的区别在于添加了直角三角形直角边的长度，显然可以看出前两个三角形的水平距离相等，铅垂距离不同，铅垂距离越大坡度越陡；后两个三角形的铅垂距离相等，水平距离不同，水平距离越小，坡度越陡。设计意图是：比较直角三角形直角边长大小的过程中引导学生认识到台阶的陡缓与直角边有关。但是问题2仍然只是通过简单的边长大小比较判断坡度的陡缓，如果两个三角形的水平距离和铅垂距离都不相等，又该如何判断呢？

3. 比较图中的两个台阶，你有什么发现？

问题3的提出引发学生的认知冲突，两个直角三角形的水平距离和铅垂距离都不相同，前面的经验不够用了。部分学生会直观判断两个台阶一样陡，但是说不出原因，这样教学就很难进行下去。这时可提问：我们数学经常用转化思想，把未知的化为已知的，那么能把两个三角形不相等的直角边转化成相等的吗？学生就会想到把第一个三角形扩大3倍，把第二个三角形扩大2倍，发现它们的水平距离相等，铅垂距离也相等，所以两个坡一样陡，也就是两个三角形的夹角一样大，这说明夹角的大小与直角三角形的两条直角边有关。

但是夹角到底与两条直角边有什么关系呢？学生往往想不到坡面的陡缓与夹角的对边与邻边的比值有关。直接告诉学生结论就失去了前面探究的价值。因此可设置如下问题：（1）放大后的图形与放大前的图形有什么关系？学生用两组对应边成比例且夹角相等可证得两個三角形相似。（2）两个直角三角形的斜边倾斜程度一样吗？为什么？通过相似可得到对应的夹角相等，因此倾斜程度一样，由此可以看出台阶的倾斜程度与铅垂距离和水平距离的比有关。（3）直角三角形中边的比值随着锐角的变化而变化，随着锐角的确定而确定，这种关系是我们以前学过的什么关系呢？进而从函数角度理解正切的概念。

实践证明，做一个优秀的数学教师一定要吃透教材，但又不能被教材牵着鼻子走，要善于挖掘教材，根据学生的实际水平层层递进创设情境，才能找到合适的最优化教学方法。

作者简介：顾政伟，江苏省苏州市，吴中区临湖第一中学。