巧用图像特征解高中数学函数题

摘要：高中数学题目的抽象性导致其解题难度明显地增加了，在实际解题的过程中，多选择数形结合的方法，能够降低解题的难度。结合函数图像来解题，不仅能够提高解题效率，还能够培养自身的逻辑思维能力。本文以高中函数解题中图像特征的应用为主要研究内容，通过几个典型的例题分析，对其具体应用思想进行介绍，以期能够加深高中生对图像特征解题的认识。

关键词：图像特征;高中;数学;函数

在高中阶段的函数解题过程中，为降低题目的难度，提高解题的效率，我们多采用数形结合这一方法解题，在此过程中，需要明确图像与函数之间的对应关系，从而保证解题过程的正确。

一、图像特征与函数定义区间内的根

函数最为重要的参数就是定义区间，尤其是对于三角函数来说，为避免范围的扩大，多选择定义区间内的函数关系进行研究。因此，在函数的定义区间内，通过数形转换的方式，结合图像特征对函数进行描述，能够有效地提高解题效率。

例1：方程sin2x=sinx，x∈（-∞，+∞），求在区间[0，2π]上，该方程的解的个数。

解析：通常来讲，我们求方程解的个数，除需要结合定义区间之外，还要通过判定公式确定其根的个数。但是，这里的方程sin2x=sinx并不是通用方程，因此，无法通过常规的判定公式来进行求解。此时，我们就可以利用数形结合的方法，其中sin2x与sinx在同一平面直角坐标系中，通过判定区间[0，2π]内两者交点的个数，即可得sin2x=sinx的解的个数。

解：令y1=sin2x;y2=sinx，在平面直角坐标系中绘制y1、y2在区间[0，2π]中的图像如图1所示：

由此可以看出，在区间[0，2π]内，曲线y1与y2共有5个交点。

即：方程sin2x=sinx在区间[0，2π]内解的个数为5。

二、图像特征在函数最值中的应用

在众多的函数题目当中，能够通过图像特征解题的还有函数的最值，在实际解题的过程中，利用函数图像能够大大地减少解题的步骤，进而提高解题效率。

例2：在平面直角坐标系中，有三个点A、B、C，三点坐标分别为（1，m+2）、（m+1，5）、（m+2，m+3），且m>0，其中，A、B、C为由右至左一次排列，如果|AB|+|BC|的值最小，那么，A、B、C坐标中对应的m值應当是多少？

解析：在该题目中，应用常规解题方法，则需要进行如下计算：

直接对d的最小值进行计算，难度较大，且需要进行一系列的验证。因此，不宜使用常规方法，而采取图像特征法解题，能够降低题目的难度。

解：如图2所示：

由图可得，A、B、C三点之间的连线距离最短，此时应保证B点在线段AC的连线上，也就是线段AB与线段AC的斜率相同，由此可以得到以下关系式：

其中，kAB=kBC，即 。

经计算得m1=1或m2=-，由于m>0，因此，满足条件的只有m=1。

三、图像特征在函数证明题中的应用

证明题由于给出的已知条件有限，大多数条件都需要通过变形、转换、代入等方式获得，因此，证明题的解题技巧使用得较为灵活，其中也包括了图像特征。

例3：已知0

解析：由题目中的已知条件可以看出，该题目能够利用的信息极为有限，证明不等式需要考虑的影响因素较多。所以，这里需要进行已知条件的转换，并在转换过程中结合数形关系，从而求证。

解：设辅助函数f（a）=a-a2，通过变形后可得：

根据该函数可知，其对称轴为，最大值为，在区间（，+∞）上为单调递增函数，且b

即：，化简后得 。

由于 ，所以，。

四、总结

在高中函数的解题过程中，图像特征是一种常用的方法，在利用数形结合的同时，结合函数图像的基本性质，我们可以发现题目中各种已知条件与问题之间所存在的规律。然而，图像特征的适用具有一定的前提条件，对于作图难度较大的题目来说，则不适用于此方法。因此，在函数解题的过程中，我们还应当分析图像特征这一方法的应用前提。

参考文献：

[1]探究数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].马玉武.中国校外教育.2016 （35）

[2]数形结合思想方法在高中数学教学中的应用研究[J].张必荣.中学生数理化（学研版）.2015 （12）

[3]数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].朱士波.课程教育研究.2015 （34）

作者简介：陈嘉铖（2001.4）男，民族：汉，学校：河南省实验文博学校。