高的不准确定义和科学教学法

杜才峰

[摘 要]为了符合小学生的认知水平，很多小学数学概念都是简化过的。以“高”的定义为例，对教材给出的定义以及教师的教学进行分析论述，并给出可行的教学方法。

[关键词]高;定义;科学;教学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0020-02

数学概念必须是逻辑严谨的，文字表述也必须滴水不漏，但为了符合小学生的认知水平，很多小学数学概念都是简化过的，直到初中才得到补充完善，但是，经过简化的表述并不意味着就可以漏洞百出。

在一次教研活动中，有一节“三角形的认识”的展示课。在引导学生了解“高”时，授课教师是这样设置情境的：有一只小蜗牛想从A点爬到BC边上去，走哪条路线最近？

乍一看，带有童话色彩的故事能让学生瞬间产生浓厚兴趣，而且没有直接提出高的概念，而是将其放到垂线的总概念中，用另一种语言间接提出“点到直线之间垂直线段最短”，让学生找出最短路线就是间接画出高。返校后，笔者仔细回想了这节课，将前后细节仔细琢磨一番，发现其中存在不少问题。

一、小学教材里高线定义中的漏洞

如果是在锐角三角形、直角三角形中，高线就是顶点到对边的垂线段，即是最短路线，这样描述并无不妥，但是如果换成钝角三角形，锐角顶点到对边的高线在三角形外面，此时沿着高线只能到达对边的延长线，无法抵达对边，此时仍沿用这一说法就不可行。如果此时蜗牛还要爬到对边上，最佳路线还是高线吗？如果仍然沿着高线爬行，还能顺利抵达对边吗？怀着诸多疑惑，笔者翻开课本。课本上对“高”的描述是这样的：从三角形的一个顶点到它的对边画一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。

所谓“对边”，即是一条边，边有长度，应该是线段，但是也可能出现意外的情况：那就是从顶点出发作垂线，垂足不一定在线段上，也可能在线段所在的直线上，此时就超出了概念前半句题设部分默认的条件。众所周知，钝角三角形有两条高在三角形外部。那教材为何这样草率下结论？配套的教师用书给出这样的解释：需要注意钝角三角形两个锐角夹的高在对应边的延长线上留下垂足，这种特殊情形对学生不作要求。既然小学不作要求，那么初中又是如何规定高线的呢？初中课本是这样定义高的：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。

看到初中版的定义后，笔者茅塞顿开。因为，如果仅仅说从顶点出发向对边画高，会引起误解——高线的垂足一定要落在对边上，即使教师申明可以考虑“延长”，学生也会质疑：线段明明不能延长，怎么又延长？而初中的文本表述改为“所在的直线”一说，则把对边的线段属性扩充到直线，于是释放出强烈的信号：高可以是在三角形外面。这样“线段不能延长”的质疑也就不复存在。可见，小学课本中对三角形的高的定义是有漏洞的。

二、借已有认知经验学习“高”

学生在接触三角形的高之前，已经掌握了“在所有连接点到直线的线段中，垂线段最短”“平行线之间夹的垂线段处处等长”“平行四边形两对边所夹的任意一条垂线段都可视为平行四边形的高”等推论，利用这些推论已经可以很好地诠释三角形的高。

[教学方法1]

1.过已知直線BC外一点A作该直线的垂线，垂足为D。

2.过已知直线BC外一点A作该直线的平行线。

3.在已知直线上取两点B、C，连接AB，AC。

4.在直线BC的平行线上移动点A至A[′]，连接A[′]B和A[′]C，使A[′]B正好垂直于直线BC，此时，[△]A[′]BC为直角三角形，BC边上的高恰好就是直角边A[′]B。

5.继续移动点A[′]到A[″]，连接A[″]B和A[″]C，使∠A[″]BC为钝角，那么△A[″]BC为钝角三角形，此时BC边上的高是点A[″]到线段BC所在直线的垂线段。

通过移动顶点，学生直观认识到三角形的高的本质就是点到直线的一条垂线段。

三角形的高，通俗讲就是三角形立起的高度，只是“高度”这个形象的生活语言到数学里就变得很专业。基于这种认识，不妨将三角形的高与生活中物体直立的高度关联起来，将人体身高作为揭示三角形“髙”的表象支撑。三角形的高与人体高度有着本质的相同：两者都可看成制高点到水平线的铅锤距离。基于这一相同点，可以利用人体身高实现知识的正迁移。

[教学方法2]

1.回想生活经验，重新认识“高度”。

比较两位同学的身高，谈一谈比身高时的注意事项。

2.将三角形的高比拟成人的身高，树立三角形的高的生活形象。

（1）△ABC与△EFG一较高低，△EFG觉得自己与△ABC一样高，△ABC坚决抗诉，要求对齐顶点再来比较。

（2）于是，△EFG踮起脚尖，让自己的头顶和△ABC的头顶齐平，这时△ABC发表声明，高必须是顶点到底边的垂线段，不是其他线段。

[顶点][底][高]

（3）如果是从顶点到底边，无论三角形怎么站位，都能准确找到它的高。

三、借助物理科学现象理解“高”

“自由落体”是一种物理现象，其运算公式又含有数学定理，其垂落的路线是竖直向下的。利用这一物理现象，也可以帮助学生理解三角形的高。

[教学方法3]

1.观察自由落体实验现象，试着描述物体自由落地有什么特点。

2.如果把三角形底边看成水平地面，把顶点看成落点，那么物体下落后的轨线是怎样的？

3.分析钝角三角形中锐角所夹的高线处于三角形什么位置。

4.概括三角形的高的定义。

钝角三角形两锐角所夹的高，虽然课本不作要求，但是计算三角形面积时不可避免，再者，只要讲解得法，学生完全可以理解。因此，笔者强烈建议，在定义三角形的高线时，将“对边”的表述换成“对边所在的直线”更科学严谨。

（责编 金 铃）