椭圆中一类三角形面积最大值与最小值的探究

云南省大理宾川四中(671600) 段志强

一条定长为l的动弦AB,它的两端点在椭圆上,O是椭圆的中心,探究△OAB的面积的最大值与最小值,这是一个有意义的问题,本文给出这类问题的一种浅显的解法,供参考.

首先给出下面的引理.

引理已知倾斜角为θ的直线l与椭圆1(a＞b＞0)相交于不同的两点A,B,坐标原点O到直线l的距离为d,c为椭圆的半焦距,记t=a2-c2cos2θ,则

证明当时,设直线l的方程为y=kx+m,其中k=tanθ,则进而有m2=d2(1+k2)=即,

将y=kx+m代入方程中得：

计算得方程 ②的判别式

又

将 ①,④代入 ③得

随着现代信息化技术的不断发展，土建技术施工要充分结合现代化信息技术，以提高其工作效率。因为土建施工技术信息化不但可以帮助企业有效的控制施工成本，同时还可以帮助企业预防安全隐患的发生，帮助管理层及时有效的掌握工程施工质量，这就需要土建工程的管理者以及国家对发展土建技术施工的信息化引起高度重视。作为企业的管理层应该加大对先进土建技术及人才的引用，以提高整个管理层的管理水平和施工效率，进而提高工程的施工质量。而作为国家应该加大对土建技术发展的政策扶持和资金帮助，以帮助企业土建技术朝着正规化，技术化方面发展，从而保障我国土建技术的施工质量和施工安全。

注：直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,要求即d2＜t.

由引理,有下面的定理1,定理2.

定理1 设AB是椭圆=1(a＞b＞0)上一条定长为l的动弦,椭圆中心为点O,则

(1)当0＜l＜时,△AOB面积的最大值为

(1)当0＜l＜时,有2a2,则m=故函数f(t)的定义域为[b2,a2],注意到函数f(t)的开口向下,对称轴利用熟知的一元二次函数在给定区间上最值问题的求法,可得(d2)max=f(a2)=进而故

综上定理1 得证.

定理2 设AB是椭圆=1(a＞b＞0)上一条定长为l的动弦,椭圆中心为点O,直线AB不过点O,则

(1)当2b≤l＜2a时,△AOB面积的无最小值;

(3)当0＜l＜时,△AOB面积的最小值为

证明设直线AB的倾斜角为θ,椭圆中心点O到直线AB的距离为d,椭圆的半焦距为c,设t=a2-c2cos2θ,又b2≤a2-c2cos2θ≤a2,所以t ∈_[b2,a2],记A=[b2,a2].由引理知：|AB|=进而得直线AB不过点O,由d2＞0,解得0＜t＜记B=记d2=f(t)=

(1)当2b≤l＜2a时,b2＜≤a2,故函数f(t)的定义域为A ∩B=注意到函数f(t)的开口向下,注意到,t→时,d2→0,故△AOB面积的无最小值;

(3)当0＜l＜时,故函数f(t)的定义域为A ∩B=[b2,a2],注意到,函数f(t)的对称轴t=且函数f(t)的开口向下,故(d2)min=f(b2)=即所以,

综上定理2 得证.