职前职后数学教师范希尔几何思维水平的比较研究

罗 琼 彭乃霞 郭德龙

(黔南民族师范学院，贵州 都匀 558000)

荷兰数学教育家范希尔(Van Hiele)夫妇在20世纪50年代，作为一所中学的数学教师，每天都对学生学习几何存在很多困难而感到困惑，为了帮助学生更加易于学习几何知识，于是开始关注皮亚杰(J. Piaget)的认知理论，之后提出了一种几何学习理论一一Van Hiele理论[1]。该理论内容用以下框图呈现：

这一理论的应用非常广泛，主要体现以下几个方面：一是对范希尔几何思维水平的评估；二是依据范希尔水平进行几何课程的编制；三是用范希尔水平进行几何教学的设计。对范希尔几何思维水平的评估是一项基础研究，但较多的是考察学生的范希尔几何思维水平，针对职前和在职数学教师的范希尔几何思维水平缺少必要的关注。

根据范希尔理论的特点，学生的几何思维水平不是随年龄的增长而主要依赖于适当的教学，教师根据学生的几何思维发展过程，针对学生的所处水平设计适当的教学，引导学生一步步经历和完成各阶段的学习，从而逐渐提高学生的几何思维水平，这对帮助学生学习数学是至关重要的。文章的目的是考察职前和在职数学教师的范希尔几何思维水平，对其现状进行调查分析，探索提高教师几何思维水平的途径，为教师几何的高效教学提供依据，为教师进一步顺利实施《义务教育数学课程标准(2011年版)》打下基础。

一、教师几何思维水平的相关研究

范希尔几何思维水平的评估涉及教师的不多。梅贝里(Mayberry，1983)先后对19位师范生进行访谈，研究表明：大多数学生都缺乏学习形式演绎几何课程的准备知识。劳瑞和皮格(Lawrie and Pegg，1997)根据梅贝里的访谈提纲设计了一套书面测试卷，对60名师范生进行了测试，结果表明，大多数师范生的思维水平都只达到了水平1和水平2.

二、研究方法和数据分析

1.研究对象

研究的对象是某省中小学数学教师及在校数学系学生，发放试卷共计298份，回收有效试卷296份。其中小学教师134人，初中教师78人，大学生(后称职前教师)84人。

2.研究工具

本研究采用尤西斯金等人编制由吴德邦所翻译的以Van Hiele 几何思考层次测验(VHGT)中文版为测验工具。此测验工具包括五个层次，每个层次各五题，共计25题。1至5题属于视觉层次，6至10题属于描述层次，11至15题属于理论层次，16至20题属于形式逻辑层次，21至25题属于逻辑法則本质层次。其效度及信度亦在其第一本博士论文的研究考验过，各层次之再測信度分別为：.5549(P=.000)，.8153 (P=.000)，.6492 (P=.000)，.4505 (P=.000)，和 .7902(P=.000)。

3.计分标准

本试题计分别按3分通过法和4分通过法。3分通过法是以各层次答对五分之三的题目为标准做加权计分，如某层次上共有5道题，若答对其中3题及3题以上，则表示通过该层次。而4分通过法则是以各层次答对五分之四的题目为标准做加权计分，也即若某层次答对4题及4题以上，则表示通过该层次。两种方法的计分为：通过层次一得1分，通过层次二得2分，通过层次三得4分，通过层次四得8分，通过层次五得16分。最后做加权分数，若总计得31分则属于达到层次五，15分为达到层次四，7分为达到层次三，3分为达到层次二，1分为达到层次一。根据范希尔理论的次序性特性，当受测者被指派为某一水平层次N，他必须达到层次N，而且要通过之前的所有层次，若没有通过之前所有层次，则属于跳跃，即如果最后总分不是1, 3, 7,15, 31分者为跳跃情形。对测试的数据采用SPSS20.0和EXCEL软件进行统计分析。

三、测试结果分析

1.范希尔平面几何思考层次的分布情形

根据前面已阐述,用4分通过的评分标准，得出被试者的几何思维水平分布情况分别如表1和图1所示。

表1 不同专业被试者范希尔平面几何思维水平的分布情形(4分通过)

图1 不同专业被试者范希尔平面几何思维水平的分布情形(4分通过)

表2 单因素方差分析

表3 不同职业受试者范希尔平面几何思维水平差异分析

*. 均值差的显著性水平为 0.05.

从表1和图1中发现，不同教师被试者用4分通过的标准测试达到各几何思维水平的百分比依次为：12.5%、20.9%、58.8%、1.0%、3.0%。大多数达到水平3，水平3以上有12人(占总人数的4%)，有1人(占总人数的3.7%)具有跳跃性特征即不能判定属于哪一个水平。为了对不同群体的范希尔几何思维水平作出更详细地比较，进行差异性检验后呈现显著性的差异(由表2所示)，进一步检验(由表3)得出小学教师对中学教师和职前教师的范希尔水平呈现显著性的差异，而初中教师和大学生没有呈现显著性的差异。这与官红严的针对数学教师的范希尔几何思维水平测试数据基本一致。

为了避免严格的4分通过的标准会由于某些被试者对试题作正确的猜测而取得的似然性的答案，导致理解的问题与所处的水平不一致。故又采用3分通过的标准进行统计得到其情况如表4和图2所示。

表4 不同教师被试者范希尔平面几何思维水平的分布情形(3分通过)

从上表4和图2中可以知道，不同教师被试者达到各几何思维层次的百分比依次为：3.0%、9.1%、56.8%、14.2%、16.9%。达到水平3及水平3以上的人数共267人(占总人数的87.9%)。

图2 不同专业被试者范希尔平面几何思维水平的分布情形(3分通过)

表5 单因素方差分析(3分通过)

由表5表明被试教师间的范希尔几何思维水平呈现显著性的差异，进一步检验得到(由表6)小学教师对中学教师和职前教师的范希尔水平呈现显著性的差异，而初中教师和职前教师没有呈现显著性的差异。

表6 多重比较(3分通过)

*. 均值差的显著性水平为 0.05。

2.范希尔几何测试题的作答情况

表7 被试者对范希尔几何测试题的正确作答分布情况

图3 被试者对范希尔几何测试题作答正确率分布图

由表3-7和图1-3知，此测验试题总数为25题，除了18、19、20、21、22、24、25题答对率不到50%外，其余的题答对率较高。试题1—5(水平1)的平均答对率为95.4%，试题6—10(水平2)的平均答对率为87.4%，试题11—15(水平3)的平均答对率为78.1%，试题16—20(水平4)的平均答对率为41.8%，试题21—25(水平5)的平均答对率为40%。

第18题：现有两个命题．

Ⅰ：如果一个四边形是矩形，那么它的对角线互相平分

Ⅱ：如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是矩形

下面的结论正确的是( )

A、如果命题Ⅰ成立，那么命题Ⅱ也成立

B、如果命题Ⅱ成立，那么命题Ⅰ也成立

C、如果命题Ⅱ成立，那么一个矩形的对角线互相平分

D、如果命题Ⅱ不成立，那么没有一个矩形的对角线是互相平分的

E、以上结论都不正确

这是一道涉及矩形的性质的题目，属水平4的题目，正确答案为D。主要考查被试者的逻辑推理能力。此题的正确率只有7%，回答正确的有20人，其中小学教师占6.80%，初中教师占6%，职前教师占8.3%。逻辑推理能力的缺乏，这可能是因为在高学历的学习中经过逻辑推理的训练不够而导致。

第24题：两本几何书以不同的方式定义了矩形这个概念．下面的哪一个结论是正确的？( )

A、其中一本书有错误

B、其中一个定义是错误的，因为矩形不可能有两个不同的定义

C、其中一本书上的矩形一定有与另一本书上的矩形不同的性质

D、其中一本书上的矩形一定有与另一本书上的矩形相同的性质

E、两本书上矩形的性质可能不同

这是一道涉及非欧几何的题目，属于水平5的题目，正确答案为E.在几何体系中除了欧氏几何之外还有非欧几何，它们是依据与欧氏几何不同的的公理而来的。从答题情况来看，回答正确率是12.8%，其中小学教师占9%，初中教师占14.1%，职前教师占17.9%。被试者对第24题的作答，反应了很少有人了解这一事实，被试者主要对几何公理体系的建立过程和非欧几何的相关知识以及逻辑演绎推理方面的知识不大了解。

四、结果与讨论

由上述结果显示无论按3分通过还是按4分通过的标准，被试者的几何思维水平处于水平3(与国际相比(只有4.2%的美国职前教师达到水平3)的比例(占总人数的56.8%)还是比较高的。这说明我国重视几何教学的优势所在。但是处于水平4(1.0%)和水平5(3.0%)的比例就不太乐观，也即说明被试者的推理能力和高等几何方面的知识较欠缺。从解题情况看处于水平4和水平5中小学教师所占的比例很低，这可能与学历有关，因多数小学教师的学历是专科以下，虽然有的学历是本科，但也是职后通过专升本而取得。由此没有通过系列的专业学科方面的学习而导致其几何思维水平低的因素较多。也进一步说明：范希尔理论中关于提升性原理的重要性，也即如果没有学过有关高层次的几何知识其思维水平不可能达到高层次水平。总之，我国数学教师的几何思维水平在国际上还是较好的，说明我国比较重视几何教学；数学推理证明不近人意，这就需要作为培养和培训教师基地的高师院校考虑在数学专业课程的设置方面几何类课程所占的比例，同时在几何教学上还需强化证明方面和加强高层次几何的教学，对于在职教师的培训方面要多侧重于教师知识、教育观念、教学方法、教学手段等方面的更新上。