基于按周期律拓展的El-Nabulsi分数阶模型的Birkhoff系统的积分因子方法

蔡琼辉，朱建青

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

通过构造非保守动力学系统守恒律的积分因子方法，最早追溯到1984 年由Djukic 提出[11]。该方法较为新颖，有限制条件少、便于运算等优点，故积分因子方法在寻求力学系统守恒量方面有很大的发展前景。对此，乔永芬研究出了一系列重要成果[12-14]，张毅将积分因子方法应用于Birkhoff 系统[15]，束方平继而拓展到了广义Birkhoff 系统[16]。同时，束方平将积分因子方法推广至基于Riemann-Liouville 分数阶模型的力学系统[17]。

笔者采用积分因子方法来研究基于按周期律拓展的El-Nabulsi分数阶模型的Birkhoff系统，寻找其守恒律。由于经典Birkhoff 系统、基于按周期律拓展的分数阶积分的非保守Hamilton 系统和非保守Lagrange 系统都是文中系统的特例。因此，文中结论具有普遍意义。

1 基于按周期律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Birkhoff 方程

基于按周期律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Birkhoff 方程的一般形式为[10]

其中B（τ，a）为Birkhoff 函数，Rμ（τ，a）为Birkhoff 函数组。同时，0＜α≤1，这里，当α=1 时，方程（1）为经典Birkhoff 系统。τ 是固有时间，t是观察时间，τ≠t，函数Rμ和B是其变量的C2类函数。对于系统（1），假设为非奇异，即det（Ωμv）≠0，则方程（1）可表示为

其中

2 积分因子和守恒定理

2.1 积分因子

定义1如果不变式

恒等地变为

总之，在数学课堂教学中，要提高学生在40分钟内的学习效率，提高自身的教学质量，我们就应该充分做到备教材、备教法，提高自身的教学能力，发挥自身的主导。

其中ξ0、G和λμ是Birkhoff 变量a和时间τ 的函数，则称ξμ＝ξμ（τ，a）为基于按周期律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Birkhoff 方程（1）的积分因子。

结合式（1）和式（4），则有

2.2 守恒定理

定理1如果函数ξμ是方程（1）的积分因子，那么基于按周期律拓展的El-Nabulsi分数阶模型的Birkhoff系统存在守恒量（第一积分），为

若函数ξμ是方程（1）的积分因子，则每组函数ξμ，ξ0，G和λμ一定满足必要条件（5）。条件（5）可写成

显然，如果函数组ξμ、ξ0、G和λμ满足必要条件（7），那么沿着已知基于按周期律拓展的El-Nabulsi分数阶模型的Birkhoff系统的运动轨线，使得式（6）的右端成为常数时，可得到一奇异函数组ξμ、ξ0、G和λμ。于是，有如下定理。

定理2对于非奇异函数组ξμ、ξ0、G和λμ，如果满足必要条件（7），那么存在已知系统（1）的初积分（6）。

根据定理2，可求得函数组ξμ、ξ0、G和λμ，若对应于方程（7）不包含任何积分常数的任意解，就能得到系统的守恒量。

3 广义Killing方程

求出函数ξμ＝ξμ（τ，a），ξ0＝ξ0（τ，a）和G＝G（τ，a）是利用上述定理来寻求系统守恒量的关键所在。这里可通过分解出ξμ、ξ0和G的一阶偏微分，将方程（7）展开，所得的这些方程，称为广义Killing 方程，解广义Killing方程则可能找到这些函数。具体操作中，有以下两种广义Killing 方程。

方法一将方程（7）展开，令其含a˙μ的项的系数和不含的项分别为零，得到

如果系统允许对ξμ、ξ0、G和λμ有非奇异解，那么初积分（6）自然存在。这里，有（2n+1）个线性偏微分方程，对应于（4n+2）个未知函数，因此，ξμ、ξ0、G和λμ不是唯一的。通过适当的选择ξμ、ξ0、G和λμ，就可得到不同的守恒量。

方法二将必要条件（7）展开，应用式（2）和式（8），便有

这是一个线性偏微分方程，（2n+2）个函数ξμ、ξ0和G中的任意一个函数被认为是未知的。根据定理2，方程（11）对ξμ、ξ0和G的任何非奇异解产生一个初积分（6）。

4 算例

例1四阶Birkhoff 系统为

试研究其基于按周期律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi 模型下的守恒量。

由Rμ计算出Birkhoff 张量

Birkhoff 逆变张量为

由方程（1）可得出系统的运动方程

然后，由广义Killing 方程（11）可得

这里的式（16），取

可以验证式（17）满足必要条件（7），因此，由定理2 知，系统存在相应的守恒量

5 结语

对于基于按周期律拓展的El-Nabulsi分数阶模型的Birkhoff系统，已有通过Noether 对称性方法得出系统的守恒量。而积分因子方法是类似于构造保守系统能量积分的方法，更为新颖简便。文中采用积分因子方法来研究系统的守恒律，是对该方法的进一步推广应用，也为寻求基于分数阶力学系统的守恒量提供了新的思路。

致谢：对张毅教授的悉心指导深表感谢！