高中数学教学中数学知识的有效表征

◎杨阳

一、数学知识表征的内涵

数学知识表征应分为外在表征和内在表征。数学外在表征是数学学习对象的一个替代符号；数学内在表征是学习对象的外在表征内化在人脑中的心理表征。

二、数学知识表征对数学问题解决的影响

1.数学问题表征对数学问题解决的影响 不同类型的问题表征方式适合于不同的心理加工过程。适当的表征把对问题解决最有价值的重要成分和结构关系放到一个突出的位置上，问题的适当表征与问题的成功解决之间存在正相关。比如数学问题图式可以看成数学问题解决过程的图式，它包含两部分信息：其一是关于它所对应的某类问题的特征描述，其二是这类问题的解决的知识、方法和程序。数学问题图式不仅影响个体对问题的感知和理解，还影响问题解决策略、方法的获得与使用。总体而言，数学问题外在表征方式会影响个体内在的问题表征方式，即影响个体对数学问题的理解和解题策略的选择。

2.数学知识表征差异对数学问题解决的影响 一般情况下，人们总是用给定的表征形式解决问题，如问题以文字形式呈现，解题者往往也倾向于用言语方式解决问题。但当给定的表征不利于问题解决时，解题者就需要寻求新的、更为有效的表征方式。新的表征方式主要是通过选择与转换来实现的。个体数学知识表征的水平差异在一定程度上能反映个体数学问题解决能力的高低。陈述性知识对问题解决能力具有独立的预测作用。

三、数学知识表征的基本特征

1.多元性 数学知识表征的多元性是指同一数学学习对象具有多种多元形式。同一数学知识表征反映的内容一致，但在形式上是丰富的、互补的、变式的。

2.层次性 层次性具体表现为，数学知识表征在某种程度上反映了个体对数学知识理解的水平或发展的层级。数学知识表征的层次性可以其完善性和迁移性来衡量。数学知识表征的完善性在于个体数学认知结构中贮存的数学知识表征要能够比较完整地反映数学学习对象，把握数学知识的本质与非本质属性；数学知识表征的迁移性指某一数学知识表征与其他数学知识表征建立稳固的、有意义的实质联系。

3.灵活性 数学知识表征的灵活性是指数学知识表征系统内或系统间相互转换的灵活程度。不论是数学表征系统间还是表征系统内都是相互联系的，都可以进行认知加工和编码转换。从表征质量上说，数学表征系统间的转换不仅相对灵活，而且表征系统内的各种表征形式之间也能够发生较强的相互作用。

四、高中数学教学中数学知识有效表征分析

1.产生方式稳定灵活 一个人解决问题的能力往往会受到多方面因素的影响与制约，知识的多少很多时候并不能说明其能力的高低，很多时候，具备充分、完备知识的个体在解决问题时也不一定能够展现出出色的能力并彻底解决问题，由此可见，充分、完备的观念与知识在解决问题时虽然是必须具备的，但决定解决问题的关键还是在于其观念获得的方式以及过程，观念与知识在解决问题的过程中只是一种必要的存在.学习者一旦面对问题条件信息就会自发调动自身相应的学习活动，外显的行为反应表象、内隐的心理活动与心理运算等都包含在这里所说的学习活动中.比如，学生在接触四棱柱、平行六面体、直四棱柱、直平行六面体、正四棱柱等诸多概念时往往会因为混淆概念而生出很多错误，事实上，学生单独描述这些概念时都能表现出一定的熟练程度，相当一部分的学生在某一几何体的知识结构上也能够基本形成自己的理解.比如，教师要求学生表达怎样的几何体是长方体时，学生往往能够表达出上下底皆为长方形且侧棱垂直底面的四棱柱即为长方体的回答，这说明学生对长方体的概念已经有了一定的掌握.然而，教师如果用什么样的直四棱柱是长方体这样的问题来提问学生的话，学生因为相关知识问题的变式往往会在回答上表现出差强人意的一面了.因此，判断学生是否真正彻底、牢固地掌握某一知识体系的产生方式，我们应该观察其在一定问题情境中是否能够对条件信息进行识别并做出正确的活动反映，学生如果未能获得直四棱柱这一概念的产生方式，他们在解决与之相关的问题时虽然已经具备一定的知识组块或言语观念，但完美解决此类问题还是会存在较大差距的.

2.数学判断的命题模型表征 作为一个判断，其往往是通过严格的语言格式呈现的。平时高中数学老师在开展教学工作时，有很多同学都会对这种严谨的数学语言形式产生难以理解的情况，这主要就是因为这种严谨的数学语言系统距离高中学生较为遥远，倘若数学老师可以使同学们更好的理解复杂、严禁的数学语言，将数学语言与生活语言相互融合，那数学知识就可以得到更好的表征，同学们在学习数学的时候也不会再感觉到那么的有难度。这就需要通过命题模型的方式，所谓命题模型，就是要想方设法让学生在回忆起某个重要的数学判断的时候，不是机械地背诵出原句，而是对其中的一些关键做出清晰的理解，这就是人们所说的理解记忆与机械记忆的区别。

总的来说，在高中数学教学中确实应该重视数学知识是怎样进入学生的记忆的，如果没有重视分析这一问题，那么不管数学教师使用怎样的教学方法，传授给学生更多的数学知识，也没办法有效的提升学生的数学成绩。。